1.3.2 空间向量运算的坐标表示-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 知识点一　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 ⑴ 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； ⑵ a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ⑶ |a|＝＝； ⑷ cos〈a，b〉＝＝ . 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 题型一、空间向量的坐标运算 1．已知，，，则（       ） A． B． C． D． 2．空间中，与向量同向共线的单位向量为（       ） A． B．或 C． D．或 3．若向量，，则（       ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，，则（       ） A． B． C． D． 5．已知点A的坐标为，向量，则点B的坐标为______． 6．已知向量，，计算： (1)，，； (2)． 题型二、向量的坐标表示的应用 命题点1 空间平行垂直问题 1．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 2．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 命题角度2　夹角、距离问题 1．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 2．如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD， H为C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求FH的长． (3)求EF与C1G所成角的余弦值； 1．已知，，则_______. 2．向量，，则_______． 3．已知向量，，．若，则______． 4．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 5．设向量，，计算以及与所成角的余弦值． 6．已知点，若，求． 7．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1. (2)BC1∥平面CA1D． 8．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD； (2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 9．如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点. (1)证明：EFCF； (2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长. 10．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，. (1)求； (2)求； (3)判断四边形AEFG的形状. 1．若，则=（       ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（       ） A． B．40 C．6 D．36 3．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．已知向量，，则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D．，不平行 5．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是(　　) A. B. C. D. 6．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 7．已知，，，则的坐标为______． 8．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________． 9．向量，，，且，，则______. 10．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 11．三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)