2.2 基本不等式（精讲）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式（精讲） 考点一 直接型 【例1-1】（2022·新疆喀什）已知，则下列说法正确的是（       ） A．有最大值0 B．有最小值为0 C．有最大值为－4 D．有最小值为－4 【答案】B 【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立 故，有最小值0故选：B 【例1-2】（2022·河南南阳）已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 【一隅三反】 1．（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C 2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（       ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由题意可得函数的定义域为，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B 3．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B 考点二 常数代换型 【例2-1】（2022·浙江）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C 【例2-2】（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ∴， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 【例2-3】（2022·广西·桂林中学高一期中）若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由得，则有，有，同理可得， 由两边除以xy得：，于是得： ，当且仅当时取“=”， 由解得：，所以当时，取得最小值. 故答案为： 【一隅三反】 1．（2022·江西）已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A 2．（2022·江苏镇江）已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B. 3．（2022·全国·高一期末）设，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C. 4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多选）已知，且，则的取值可以是（       ） A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】CD 【解析】因为，所以，则. 因为，所以， 所以（当且仅当时，等号成立）， 则.因为，所以，即.故选：CD 考点三 配凑型 【例3-1】（2022·广东·梅州市）已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【解析】∵，∴，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A． 【例3-2】（2022·福建）函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立. （方法2）令，，，. 将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D 【例3-3】（2022·湖北·高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A 【例3-4】（2022·河南）设，为正数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，即， ∴ ，当且仅当，且时，即 ，时等号成立.故选：. 【一隅三反】 1．（2022·安徽省）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（       ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B 2．（2022·吉林松原）若，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C． 3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 ， 当且仅当时