第02讲 平面向量的线性运算（4大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

第02讲 平面向量的线性运算（4大考点） ( 考点 考向 ) 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 6.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 7.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 ( 考点 精讲 ) 1．（2022•徐汇区二模）关于非零向量、、，下列选项中错误的是（　　） A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是单位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+|| 【专题】三角形；推理能力． 【分析】根据向量的性质和向量模的定义进行分析判断． 【解答】解：A、如果＝，那么||＝||，不符合题意； B、如果、都是单位向量，那么||＝||，不符合题意； C、如果＝2，那么∥，不符合题意； D、如果＝+，那么||≤||+||，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面向量，需要考虑共线向量和非共线向量两种情况． 2．（2022•青浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点E，使CE＝2BC，联结DE，设＝，＝，那么可表示为（　　） A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣2 【专题】多边形与平行四边形；几何直观． 【分析】由平面向量和平行四边形的性质可得，＝，＝2，则＝+＝． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∴，＝， ∵CE＝2BC， ∴＝2， ∴＝+＝． 故选：A． 【点评】本题考查平面向量、平行四边形的性质，熟练掌握平面向量和平行四边形的性质是解答本题的关键． 3．（2022春•浦东新区校级期末）已知点C是线段AB的中点，则＝　　． 【专题】三角形；推理能力． 【分析】根据共线向量的性质作答． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴＝﹣． ∴＝． 故答案是：． 【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向． 4．（2022•长宁区二模）如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（　　） A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣3 【专题】数形结合；几何直观． 【分析】＝﹣＝﹣，则＝2﹣2，再根据＝可得出答案． 【解答】解：∵＝，＝， ∴＝﹣＝﹣， ∵BC＝2AB， ∴＝2﹣2， ∴＝＝3﹣2＝﹣2+3． 故选：A． 【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键． 5．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果＝，＝，那么用、的线性组合表示向量为（　　） A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观． 【分析】由已知条件可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，进而可得△DEF∽△BCF，则，所以CF＝CE，根据＝＝+，可求出，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝， ∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴△DEF∽△BCF， 则， ∴CF＝2EF， ∴CF＝CE， ∵＝＝+， ∴＝， ∴． 故选：A． 【点评】本题考