《如何学会解题》第一部分基本运算专题一代数式运算----（三）式子“两边”运算

（三）式子（等式、不等式 ）的两边“运算” 在解决某些数学问题中，有时必须对式子两边进行合理的变形运算，两边施行同样的运算，不仅仅是通常意义下的加减运算、乘方运算、开方运算，也还可两边取对数，取三角函数等。 1、等式两边同时除以不为0的数 例1．（2015•新课标Ⅱ，理16）设数列的前项和为，且，，则　　． 【解析】，， ，又，即， 数列是以首项是、公差为的等差数列，，． 2、等式两边同时平方 例2已知非零向量 ，，满足，+= ， 求向量，的夹角. 3、等式两边取对数、取三角函数 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, 【解析】 例4．(2020·全国卷Ⅲ)已知55＜84,134＜85.设＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．＜b＜c B．b＜＜c C．b＜c＜ D．c＜＜b 在比较的大小关系时，考虑到两个对数值介于0和1 之间，可尝试用中间值等进行分析 、 4、在式子两边同时取倒数 例5 【2021·浙江高考】已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A． B． C． D． 【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解． 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当且仅当时取等号， ， 由累乘法可得，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 【练习题】 1、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A. B. C. D. 2.根据下列已知条件，求数列{an}的通项公式： （1）数列中，； (2数列中)a1＝1，an＝； (3)数列中a1＝3，an＋1＝a.. 参考答案： 1解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2. 由|a＋b|＝|a－b|，两边同时平方得a·b＝0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝， 设向量a＋b与a的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝. ∵0≤θ≤π，∴θ＝. 2 (2)取倒数，得＝＝3＋， ∴数列是等差数列， ＝＋3(n－1)＝1＋3(n－1)⇒an＝. (3) 由题意知an>0，将an＋1＝a两边取常用对数，得到lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以数列{lg an}是