2.1.1 等式的性质与方程的解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.1.1 等式的性质与方程的解 一、等式的性质 1、等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 2、等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有. 3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立. 二、恒等式 1、恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。 【注意】恒等式是代数变形的依据之一。 2、常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 3、十字相乘法 给定式子，如果能找到和，使得且， 则 为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C， 正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。 4、利用恒等式化简的步骤 （1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； （2）提公因式后，看多项式的项数 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。 （3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。 三、方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集. 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 题型一 等式的性质与应用 【例1】已知，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 则，，故B选项正确，ACD选项错误.故选：B. 【变式1-1】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立，故选：D 【变式1-2】下列变形错误的是（ ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】B 【解析】A、，两边都加，得，故A正确； B、时，两边都除以无意义，故B错误； C、因为，方程两边同除以，得，故C正确； D、两边都乘以，故D正确；故选：B． 【变式1-3】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【解析】如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误.故选：B. 题型二 恒等式的化简 【例2】下列等式中，属于恒等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A，只有时，等式成立，故不是恒等式，A错； 选项B，对任意成立，B对； 选项C，只有时，等式成立，故不是恒等式，C错； 选项D，，故不是恒等式，D错故选：B 【变式2-1】已知多项式分解因式为，则的值为（ ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【解析】展开 ，解得：，.故选：D 【变式2-2】下列各式运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，右边左边，故A选项错误. 对于B选项，右边左边，故B选项错误. 对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确. 对于D选项，根据立方差公式可知， 正确的运算是，故D选项错误.故选C. 【变式2-3】对于任意实数，等式恒成立，则___________ 【答案】1 【解析】因为等式恒成立， 所以， 所以. 题型三 一元二次式因式分解 【例3】用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）=； （2）=； 【变式3-1】将下列各式因式分解： （1）； （2）； （3） 【答案】答案见解析. 【解析】（1）； （2）； （3） 【变式3-2】求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1），原方程化为， 解得或，所以原方程的解集为. （2），原方程化为， 解得或，所以原方程的解集为. （3），原方程化为， 解得或，所以原方程的解集为. 【变式3-3】将下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1） （2） （