专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题7.6 数学归纳法（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养． 【知识点展示】 数学归纳法 1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2.数学归纳法的框图表示 【常考题型剖析】 题型一：利用数学归纳法证明不等式 例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为. （1）求数列、的通项公式； （2）数列满足：，，证明 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式； （2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明. 【详解】 （1）由，是，的等差中项， 可得，即，即，解得或， 又因为，所以， 又由，所以， 因为数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，所以. （2）先用数学归纳法证明当，， ①当时，，左式>右式，不等式成立； ②假设时，不等式成立，即， 当时，，因为在上单调递增， 由，得，即， 可得，不等式也成立. 由①②得证当，， 所以. 例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列满足：，且，（n为正整数）． (1)计算：，，的值； (2)猜测的通项公式，并证明； (3)设，问是否存在使不等式对于一切的正整数均成立的最大整数p，若存在请求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)最大整数 【解析】 【分析】 （1）将依次代入递推关系式即可； （2）由可猜想得到；利用数学归纳法可证得猜想； （3）分离变量得，令，通过计算可知，由此可得. (1) 由题意得：；， (2) 猜想：； 证明：当时，，满足； 假设当时，成立， 那么当时，， 即当时，成立； 综上所述：对于任意，成立. (3) 由（2）得：，； 若恒成立，则； 令， 则， ； ，， 即递增，，， 又为整数，最大整数. 例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】 （I）用数学归纳法可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得. 【详解】 （Ⅰ）用数学归纳法证明：． 当时，． 假设时，，那么时，若， 则，矛盾，故． 因此，所以，因此． （Ⅱ）由得， ． 记函数， ， 函数在上单调递增，所以， 因此，故． （Ⅲ）因为，所以， 由，得， 所以，故． 综上，． 【名师点睛】 本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明． 【总结提升】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 题型二：归纳、猜想、证明 例4.（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得，再利用，可依次求出，，的值，从而可猜想，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】 因为数列中，，，，成等差数列， 所以，得， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可猜想， 证明如下：当时，成立， 假设当时，成立，即，则 当时，， 所以当时成立， 所以 故答案为： 例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． 【详解】 （1） ［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可