《如何学会解题》第一部分基本运算专题1.2配方法及其在高中数学的应用举例

2 、 配方法 2.1配方法的配方依据及其常见形式 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 三个典型的二次三项式配方情形： 配方时，首先看二次项系数是否1，，如果不是，那就需要添括号来完成，添括号时只需要考虑二次项和一次项即可如（2）和（3），即二次项系数乘括号，再把括号写成，最后视二次项系数的正（负）相应减（加）常数； 配方法主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。 2.2应用举例 例1（2021全国乙11）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为 A. B. C. D.2 在被开方数中，是一个二次项系数为负的二次三项式，求最值，需要对其进行配方 例2 求二次函数在的最大值和最小值 在遇到二次函数或二次型函数的值域或最值中，可以考虑配方成下面的两个函数可以称为二次型函数 比如 g(x)＝e2x－2ex 例3 已知函数f(x)＝ex，若关于x的不等式[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0,1]上有解，则实数a的取值范围是________ 解析：由[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0,1]上有解，可得a≤[f(x)]2－2f(x)，即a≤e2x－2ex.令g(x)＝e2x－2ex(0≤x≤1)， g(x)＝e2x－2ex 则a≤g(x)max.即a≤e2－2e，故实数a的取值范围为(－∞，e2－2e]． 例4 求抛物线上的点到直线的最小距离. 例5 函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A．4　　　　B．5 C．6　　　　D．7 解析：∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋