期末模块复习---成对数据的统计分析典例剖析讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末模块复习---成对数据的统计分析典例剖析 一、知识清单 （一）成对数据的统计相关性 1．变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关 系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关； 如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关. 4．样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. ①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. ②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. （二）一元线性回归模型及其应用 1．线性回归方程： （1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点． （3）相关系数：． 【方法归纳】 （1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关． （2）利用相关系数判定，当越趋近于1相关性越强．当残差平方和越小，相关指数越大，相关性越强． （3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． （4）正确运用计算的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线过样本点的中心进行求值． （三）列联表与独立性检验 1．列联表 设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 总计 2．独立性检验 利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出列联表； (2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0： (3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”． 二、类型应用 类型一：变量的相关关系的判断 例1：（1）从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法正确的是(　　) A. 人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系 B. 汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系 C. 吸烟量与健康水平之间没有相关关系 D. 气温与热饮销售好不好之间没有相关关系 （2）（2021春•通州区期末）在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ （1）【答案】B；（2）C 【详解】（1）从统计学的角度看，在一定年龄段内，人体的脂肪含量与年龄之间有相关关系，∴A错误；汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系，∴B正确；吸烟量与健康水平之间有相关关系，∴C错误；气温与热饮销售好不好之间有相关关系，∴D错误． （2）根据两个变量的散点图中，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系， 所以两个变量具有线性相关关系的图是②和③． 故选：C． 变式训练1：（2020春•海东市期末）下列说法正确的是（　　） A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系 C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系 D．人的体重与视力成负相关关系 【答案】C 【分析】根据两个变量之间的关系是函数关系，还是相关关系，判断选项中的命题是否正确即可．