第03讲 线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（浙教版）

第03讲 线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图 （3大考点6种解题方法） ( 考点 考向 ) 一．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 二．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 三．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 四．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 五．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 六．作图—代数计算作图 代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度． （1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图． （2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点． 要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图． ( 考点 精讲 ) 一．角平分线的性质（共5小题） 1．（2021秋•温岭市期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【分析】过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PC＝PD＝2，根据三角形的面积公式计算可求解． 【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C， ∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2， ∴PC＝PD＝2， ∵OE＝4， ∴S△OPE＝OE•PC＝． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 2．（2021秋•北仑区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 3．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的长． 【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D， 由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线， ∵EC⊥AC，ED⊥AB， ∴EC＝ED＝3， 在Rt△ACE和Rt△ADE中，， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴AC＝AD， ∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5， ∴BD＝4， 设AC＝x，则AB＝4+x， 故在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 即x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， 即AC的长为：6． 故选：C． 【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键． 4．（2021秋•新昌县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△