专题05 抽象函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

抽象函数 1概念 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征. 2 常见抽象函数模型 特殊模型 抽象函数 正比例函数 幂函数 或 指数函数 或 对数函数 或 【题型一】求值问题 【典题1】已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求. 【解析】对任意，，都有，， ， ． 【点拨】 ① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解； ② 抽象函数是对数函数型，由可知， 则易得，，作选填题可取.又如，求；由可令，又因，得，故易得. 故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉. 【典题2】对任意实数，均满足且， 则_______. 【解析】令，得， 令，得 令，得， ， ， ，即. 【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取等)或特殊关系(如取等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律； ② 比如本题中所求的中自变量的取值较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手. 【题型二】单调性问题 设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件 ①对任意正数，都有；②当时，；③． (1)求的值； (2)证明在是减函数； (3)如果不等式成立，求取值范围． 【解析】(1)令，， ， 令，， 且． (2) (利用函数单调性的定义证明) 取，则 由②得 在上为减函数． (3)由条件①得 (凑项，再利用单调性求解) 由得， 又在上为减函数， 又，，(注意函数定义域) 解得的范围是． 【点拨】 ① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明 · 任取，且； · 作差 此步有时也会用作商法：判断与的大小； · 变形； · 定号(即判断差的正负)； · 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解. ③ 抽象函数符合对数函数型， 由可知，作选填题可用. 【题型三】奇偶性问题 定义在上的增函数对任意都有，则 (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)在中， 令可得，，则， (2) (定义法证明函数奇偶性) 令，得， 又，则有， 即可证得为奇函数； (3)因为在上是增函数，又由(2)知是奇函数， ， 即有，得，(分离参数法) 又有(当时取到等号)， 即有最小值， 所以要使恒成立，只要使即可， 故k的取值范围是． 【点拨】 2 判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断与的关系. ② 抽象函数是正比例函数型，由是增函数，可知，选填题可用. 【题型四】周期性问题 奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为 . 【解析】函数是定义在上的奇函数， 故， 又，即周期为， ， 又由，且 ，， 故在区间，方程根有，，，，， 个数最小值是个， 【点拨】 抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路. 巩固练习 (★★) 的定义域为，对任意正实数都有 且，则 . 【答案】 【解析】取，得； 取，得； (★★★)已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则　　． 【答案】 【解析】根据题意，为偶函数且满足， 变形可得， 即， 令可得，即， 解可得：， 又由满足， 则有， 联立可得：， 变形可得：或， 若，则有， 此时有1±， 若，即， 则有，则有， 则±， 综合可得：±， 故答案为：． (★★) 是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 . 【答案】 是定义在上的以为周期的奇函数， ，且， 则，则， ，， ，，， 方程的解可能为，，共个， 故选：． (★★★) 已知定义在上的函数满足� ①对任意，都有；� ②当时，且； 试判断函数的奇偶性； 判断函数在区间上的最大值； 求不等式的解集． 【答案】(1)偶函数 (2) (3)或x 【解析】 (1)； 令，则， 令，则， 即， 故函数是偶函数， (2)任取，则， ； ； ) ，时，， ， 得到， 为上的增函数． 故函数在区间上的最大值为， 又由函数是偶函数， 函数在区间上的最大值也为， 故函数在区间上的最大值为； (3)由(2)得，则， 故不等式可化为：， 由(2)中结论可得：， 即或， 解得或 (★★★) 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． 证明：当时，； 判断函数的单调性并加以证明； 如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) 【解析】(1)， 令， 则，所以， 再令，则， 当时，． ． (2)任取，，且，则) ，所以1，则，， 在上是减函数，