4.1 指数（思维导图+6大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

4.1指数 目录 01题型归纳目录.2 02思维导☒图3 03知识点梳理.… .4 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 知识点二、根式的概念和运算法则4 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 5 知识点四、有理数指数幂的运算 5 知识点五、无理数指数幂6 04题型归纳，举一反三.7 题型一：由根式的意义求范围7 题型二：根式的化简求值7 题型三：分数指数幂与根式的互化8 题型四：指数幂化简与求值9 题型五：整体代换法11 1/12 01 题型归纳目录 题型一：由根式的意义求范围 题型五：整体代换法 题型归纳 题型二：根式的化简求值 题型四：指数幂化简与求值 题型三：分数指数幂与根式的互化 2/12 02 思维导图 整数指数幂的概念】 a"a=as 整数指数幂的概念及运算性质 (a"=a 运算法则 a"(m>naz0) (ab)"=a"b" 若x=y(n∈N,>1,y∈R),则x称为的n次方根 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为下： 负数的奇次方根有一个，是负数，记为： n次方根的定义 0的奇次方根为零，记为0=0. 根式的概念和运算法则 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为±√： 负数没有偶次方根：零的偶次方根为零，记为0=0 指数 两个等式 分数指数幂的概念和运算法则 a".ab=a 有理数指数幂的运算 (a)3=a明 (ab)°=ab 无理数指数幂 实数指数幂的运算性质 3/12 03 知识点梳理 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 a"=a:a…gneZ） n个a a°=1(a≠0 a0n∈Z内 2、运算法则 (1)am·a”=am+"; (2)a"）”=am"; (3) a=a“(m>,a≠0)； (4)(ab"=a"b". 知识点二、根式的概念和运算法则 1、m次方根的定义： 若x”=yneN,n>1,y∈R),则x称为的m次方根. m为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为义y；负数的奇次方根有一个，是负数，记为 少；0的奇次方根为零，记为0=0. m为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为y;负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 6=0. 2、两个等式 (1)当n>l且neN时，(a=a; (2)Va"= a,(n为奇数) a(n为偶数) 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可 4/12 先写成a的形式，这样能避免出现错误. 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0,m,m∈N,且m为慨约分数，分数指数幂可如下定义： n a"=a a=(a)"=a an 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 (a>0,b>0,a,B∈Q) (1)aa.a =aatB; （2)(a“)=aB; (3)(ab)=a“b“; 当a>0,p为无理数时，αP是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 知识点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换，如 -42≠（付-4）2： (3)幂指数不能随便约分.如(-4)≠(-4)2. 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号， 底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指 数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b)，(a±b)2=a2±2ab+b2, (a±b)=a3±3a'b+3ab2±b3,a3-b=(a-ba2+ab+b2）,a+b=(a+b)(a2-ab+b2）的运用，能够简 化运算. 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a“（(a>0,。为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适 5/12 用于无理数指数幂。 【注意】(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果 (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①aa'=a+"(a>0,r,s∈R)· ②(a）'=ar(a>0,,seR). ③(aby=ab(a>0,b>0,r∈R) 6/12 题型归纳，举一反三 题型一：由根式的意义求范围 【例题1】若√a-1+a-2有意义，则a的取值范围是() A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.aeR 【例题2】(2025·高一·江苏无锡·期中)当√-x+1有意义时，化简√2-8x+16-√x2-10x+25的结果 是(). A.2x-7 B.-2x+1 C.-1 D.7-2x 【方法技巧与总结】 使根式有意义 【变式1】若a+(a-2)°有意义，则a的取值范围是( A.a≥0 B.a=2 C.a≠2 D.a≥0且a≠2 【变式2】若a-2+(a-4)°有意义，则a的取值范围是() A.[2,+0】 B.「2,4)U(4,+∞j C.（-0,2)U(2,+oj D.-0,4)U(4,+0） 【变式3】若代数式V2r-1+V2-x有意义，则V4x2-4x+1+2x-2)=() A.2 B.3 C.2x-1 D.x-2 题型二：根式的化简求值 【例题3】(2025·高一·江苏扬州·期中)若1<a<2,则1-a)+(a-2)的化简结果是() A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 【例题4】(2025·高一·广东·期中)式子√π-42+3-π)的值为() A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用a”=刊a"(a>0,m,n∈N,且n>1).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开 方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简. 7/12 【变式4】设a,b,c均为不等于1的正数，且a2=b3=c6,则abc的值为() A.3 B.2 1 C.1 02 【变式5】(2025·高一·全国·课前预习)计算：√x=() A.xx B.x/x C.-x√-x D.x√ 【变式6】若a=V-42,b=2,则VaVb a6-26-a°=（) A.0 B.1 C.2 D.3 题型三：分数指数幂与根式的互化 【例题5】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中x>0,y>0): (1)x; (2)()3； 3)x3y; 4疗 【例题6】用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0)· )x; 2x; Gxivi 【方法技巧与总结】 (1)运算顺序（能否应用公式）；(2)指数为负先化正；(3)根式化为分数指数幂. 8/12 【变式7】用根式的形式表示下列各式(a>0). 4)a 2) 3)a 4a司 【变式8】用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)m2; 2)m-n)(m>n川： 3)a.a. 【变式9】用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： 倒a6 √a.6 2)3-V27÷5, )w2()。 题型四：指数幂化简与求值 【例题7】计算下列各式的值 (1)0.252+(元)°-21； 9/12 2 2 0了27349 -9 +0.008号x5+m-1y: 25 【例题8】(2025·高三·河南·开学考试)已知函数f(=4+2 4x a若g=f+》fa为奇数，求a 置】 【方法技巧与总结】 根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含 非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数 【度式01求：16名g5+55-目 【变式11】计算下列各式： a3×G+2)+5: 2064-(-+-2+16+003 10/124.1指数 目录 01题型归纳目录.3 02思维导图.4 03知识点梳理.… 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 5 5 知识点二、根式的概念和运算法则5 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 6 知识点四、有理数指数幂的运算 6 知识点五、无理数指数幂7 04题型归纳，举一反三.8 题型一：由根式的意义求范围8 题型二：根式的化简求值9 题型三：分数指数幂与根式的互化10 题型四：指数幂化简与求值12 题型五：整体代换法14 1/15 01 题型归纳目录 题型一：由根式的意义求范围 题型五：整体代换法 题型归纳 题型二：根式的化简求值 题型四：指数幂化简与求值 题型三：分数指数幂与根式的互化 2/15 02 思维导图 整数指数幂的概念】 a"a=as 整数指数幂的概念及运算性质 (a"=a 运算法则 a"(m>naz0) (ab)"=a"b" 若x=y(n∈N,>1,y∈R),则x称为的n次方根 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为下： 负数的奇次方根有一个，是负数，记为： n次方根的定义 0的奇次方根为零，记为0=0. 根式的概念和运算法则 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为±√： 负数没有偶次方根：零的偶次方根为零，记为0=0 指数 两个等式 分数指数幂的概念和运算法则 a".ab=a 有理数指数幂的运算 (a)3=a明 (ab)°=ab 无理数指数幂 实数指数幂的运算性质 3/15 03 知识点梳理 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 a"=a:a…gneZ） n个a a°=1(a≠0 a0n∈Z内 2、运算法则 (1)am·a”=am+"; (2)a"）”=am"; (3) a=a“(m>,a≠0)； (4)(ab"=a"b". 知识点二、根式的概念和运算法则 1、m次方根的定义： 若x”=yneN,n>1,y∈R),则x称为的m次方根. m为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为义y；负数的奇次方根有一个，是负数，记为 少；0的奇次方根为零，记为0=0. m为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为y;负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 6=0. 2、两个等式 (1)当n>l且neN时，(a=a; (2)Va"= a,(n为奇数) a(n为偶数) 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可 4/15 先写成a的形式，这样能避免出现错误. 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0,m,m∈N,且m为慨约分数，分数指数幂可如下定义： n a"=a a=(a)"=a an 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 (a>0,b>0,a,B∈Q) (1)aa.a =aatB; （2)(a“)=aB; (3)(ab)=a“b“; 当a>0,p为无理数时，αP是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 知识点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换，如 -42≠（付-4）2： (3)幂指数不能随便约分.如(-4)≠(-4)2. 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号， 底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指 数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b)，(a±b)2=a2±2ab+b2, (a±b)=a3±3a'b+3ab2±b3,a3-b=(a-ba2+ab+b2）,a+b=(a+b)(a2-ab+b2）的运用，能够简 化运算. 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a“（(a>0,。为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适 5/15 用于无理数指数幂。 【注意】(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果 (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①aa'=a+"(a>0,r,s∈R)· ②(a）'=ar(a>0,,seR). ③(aby=ab(a>0,b>0,r∈R) 6/15 题型归纳，举一反三 题型一：由根式的意义求范围 【例题1】若√a-1+a-2有意义，则a的取值范围是() A.a≥0 B.a21 C.a≥2 D.a∈R 【答案】B a-1≥0 【解析】由√a-1+a-2有意义，得 a-2eR,解得a21, 所以a的取值范围是a≥1. 故选：B 【例题2】(2025·高一·江苏无锡·期中)当√-x+1有意义时，化简Vx2-8x+16-√x2-10x+25的结果 是(). A.2x-7 B.-2x+1 C.-1 D.7-2x 【答案】C 【解析】因为√-x+1有意义，所以-x+1之0，则x≤1， 则Vx2-8x+16-Vx2-10x+25=Vx-4)2-V(x-5)月 =4-x-(5-x)=-1, 故选：C 【方法技巧与总结】 使根式有意义 【变式1】若a+(a-2)°有意义，则a的取值范围是() A.a20 B.a=2 C.a≠2 D.a≥0且a≠2 【答案】D [a≥0 a≥0 【解析】由题设知： a-20’可得 a≠2 故选：D 【变式2】若a-2+(a-4)°有意义，则a的取值范围是() A.[2,+0) B.[2,4)U(4,+o∞) 7/15 C.（-0,2)U(2,+0 D.-00,4)U4,+00 【答案】B 【解析】由题意可知，a-2≥0且a-4≠0，.a的取值范围是a≥2且a≠4. 故选：B 【变式3】若代数式V2x-1+2-x有意义，则V4x2-4x+1+2x-2-() A.2 B.3 C.2x-1 D.x-2 【答案】B 【解析】由√2x-1+√2-x有意义，得 w2. 所以x-2≤0,2x-1≥0 所以V4x2-4x+1+2x-2)°=V2x-1)2+2x-2=|2x-1+2x-2=2x-1+2(2-x)=3. 故选：B. 题型二：根式的化简求值 【例题3】(2025·高一·江苏扬州·期中)若1<a<2,则1-a)+(a-2)的化简结果是(） A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 【答案】C 【解析】由1<a<2，,得a-2<0, 所以1-a3+a-2)=1-a+la-2=1-a+2-a=3-2a 故选：C 【例题4】(2025·高一·广东·期中)式子V(π-4)2+(3-π)3的值为() A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【答案】A 【解析】Vπ-4)2+3-π)=4-π+3-元=7-2π， 故选：A 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用a”=刊a"(a>0,m,n∈N,且n>).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开 方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简. 【变式4】设a,b,c均为不等于1的正数，且a2=b=c6,则abc的值为() 8/15 A.3 B.2 C.1 【答案】c 【解折】：。2=公=心b=d,是=， 即a2b=a2b2b=a2b2c2=1,又a,b,c均为不等于1的正数， 所以abc=1. 故选：C 【变式5】(2025·高一·全国·课前预习)计算：√x=() A.xvx B.xx C.-x√-x D.x/x 【答案】C 【解析】由已知x≤0，V-x3=V-x(-x)2=-x√-x 故选：C 【变式6】若a=-42,b=2,则VaVb a62-26-a°（) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】原式 -1=9-1'又a=V4=4,b=2, b 4 则原式= 2 -1=1 故选：B 题型三：分数指数幂与根式的互化 【例题5】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中x>0,y>0): (1)x5: (2)()3: 3)xy: a疗 【解析】(1)F=x: 9/15 3》=(=(x-v: 4怎-(=疗-， 【例题6】用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0)· )x言； 2x; Gyi 5 11 、【解析】(1)x3=百=5； (2)-原： 2 【方法技巧与总结】 (1)运算顺序（能否应用公式）；(2)指数为负先化正；(3)根式化为分数指数幂 【变式7】用根式的形式表示下列各式(a>0). 2 3)。 (4d3 【解析】(1)a-Va (2)a-a 3)a=1 3 a 园 【变式8】用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： 10/15