第09讲 函数的奇偶性与周期性-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第09讲 函数的奇偶性与周期性 【基础知识全通关】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【考点研习一点通】 考点01 ：函数奇偶性的判断 【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】 解：根据题意，依次分析选项： 对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意； 对于，，不是偶函数，不符合题意； 对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意； 对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意； 故选：． 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】AD 【解析】 由奇偶性的定义逐一证明即可. 【详解】 对于A，，，即是奇函数，故A正确； 对于B，，，即是偶函数，故B错误； 对于C，，，即是奇函数，故C错误； 对于D，，，即是偶函数，故D正确； 故选：AD 考点02：函数奇偶性的应用 【典例3】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得. 【详解】 函数为奇函数，. 又，则，解得. 故选：B. 【典例4】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=， 则当x<0时，f(x)= （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 是奇函数，x≥0时，． 当时，，，得．故选D． 【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数，满足，则___________. 【答案】 【解析】 由，可得，构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果. 【详解】 因为， 所以， 令，则在上为单调递增的奇函数， 又，所以，所以. 故答案为：4 【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 考点03：函数周期性及其应用 【典例6】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：是奇函数； 乙：的图象关于直线对称； 丙：在区间上单调递减； 丁：函数的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】 由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果