第42讲 两条直线的位置关系-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第42讲 两条直线的位置关系 【基础知识全通关】 一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 【点石成金】 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 二：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即. 因此，若，则. 反之，若，则. 【点石成金】 1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 三：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为.若，则. 【点石成金】 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 四：两点间的距离公式 两点间的距离公式为 . 【点石成金】 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 五：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 【点石成金】 （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 六：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 【点石成金】 (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式. 【考点研习一点通】 考点01判断两直线的位置关系 例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组得该方程组有唯一解，所以两直线相交，且交点坐标为． （2）解方程组 ②×6得2x－6y+3=0， 因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合． （3）解方程组 ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行． 【总结】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 考点02两条直线平行的条件 例2．已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶点D的坐标． 【答案】 （3，4） 【解析】 解法1：设D（m，n），线段AC的中点为E（2，2），所以线段BD的中点为E（2，2），则 ，解得m=3，n=4，所以D（3，4）． 解法2：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB=kDC，kAD=kBC， 所以，解得m=3，n=4，所以D（3，4）． 【总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法． 考点03两条直线垂直的条件 例3．已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【点拨】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有kAC·kBC=―1．列出方程，求解即可． 【答案】 （1，0）或（2，0） 【解析】以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥CB．设C（x，0），MJ ，．∴，去分母解得x=1或2． ∴C（1，0）或C（2，0）． 【总结】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数． 本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC或BC斜率不存在的情形作讨论． 考点04点到直线的距离 例4．在△ABC中，A（3，3