1.2.1&1.2.2 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

1.2.1&1.2.2 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定 一、命题 定义：可供真假判断的陈述句就是命题。 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 【注意】一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。 二、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 三、存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分， 称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 四、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 五、命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型一 命题的真假判断 【例1】关于区间，有下列四个命题： 甲：小于1的数都不在区间I内 乙：区间I内不存在两个数互为倒数 丙：区间I内存在小于1的数 丁：区间I内每个数的平方都大于它本身 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】由题意得： 根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾，故两个命题必然一真一假； 又因为只有一个假命题，所以乙和丁都为真命题； 根据乙和丁可知，故丙为假命题；故选：C 【变式1-1】下列命题是假命题的有（ ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】A 【解析】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误； 对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确； 对于C，若，那么，故C正确； 对于D，若，那么，故D正确．故选：A． 【变式1-2】下列命题为假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】易知A，B，C均为真命题． 对于D，当，，时，，但，D为假命题．故选：D． 【变式1-3】给出下列命题：①2021年9月10日是教师节，也是中秋节；②9的整数倍一定是3的整数倍；③的解是.其中真命题的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】①2021年9月10日是教师节，不是中秋节，故①错误； ②因为是的倍数，所以9的整数倍一定是3的整数倍，故②正确； ③的解