26 找到球心-2023高考数学总复习系列课程数学攻略四——核心考点2

高考复习 · 核心考点 题组归源 · 刻意练习 第 38 页 共 98 页 26 找到球心 一、知识要点 知识点 1：半径为 R的球的表面积 24S R ,体积为 34 3 V R . 知识点 2：长方体的体对角线就是其外接球的直径. 知识点 3：可以补成长方体求其外接球的几何体特征 特征 1:三条侧棱两两垂直的三棱锥. 特征 2:三个侧面两两垂直的三棱锥. 特征 3:底面为长方形且存在侧棱垂直底面的四棱锥. 特征 4:底面为直角三角形且存在侧棱垂直底面的三棱锥. 特征 5:三组对棱分别相等的三棱锥. 知识点 4：直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球心是上下底面多边形外接圆圆心连线的中点. 知识点 5：几何体的内切球：如果一个几何体存在内切球,那么其内切球半径常用等体积法来计算. 二、题组归源 1.已知底面边长为 2 ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P ABC 的四个顶点都在同一球面上,则此球 的表面积为( ). A. 2 B.3 C.12 D.15 2.在四面体 ABCD中,若 10AB DC  , 5AD BC  , 13BD AC  ,则四面体 ABCD的外接 球的表面积为__________. 高考复习 · 核心考点 题组归源 · 刻意练习 第 39 页 共 98 页 3.已知四棱锥 P ABCD 的顶点均在球O上, ABCD是矩形,PA⊥面 ABCD ,若 4, 2AB AD AP   , 则球O的体积为________. 4.在直三棱柱 111 CBAABC  中,若 1 2 4, 60AC AA AB BAC      ,则外接球的表面积( ). A.32 B.36 C. 42 D.50 5.若正六棱柱的顶点均在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为 6 时,则其高为( ). A.3 3 B. 3 C. 2 6 D. 2 3 6.在三棱锥 BCDA 中,若 ,ADBA ,CDBC  且 ,3,1  ADAB 则外接球体积为( ). A. 4 /3 B. /3 C. 4 D. 7.若正四棱锥的棱长都为 a ,则该四棱锥的外接球的体积为( ). A. 33 3 a B. 3 3 a C. 32 3 a D. 34 3 a 高考复习 · 核心考点 题组归源 · 刻意练习 第 40 页 共 98 页 8.在矩形 ABCD中, 4 3AB BC ， ,若沿对角线 AC 将矩形 ABCD折成一个平面角为 60的二面角 B AC D  ,则四面体 ABCD的外接球体积为__________. 9.四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 4的正方形,侧棱 PA 面 ABCD ,若 3PA  ,则该四棱锥的内切球 的体积为( ). A. B. /3 C. 4 D. 4 /3 10.棱长为 1 的正四面体的内切球的表面积为( ). A. B. /3 C. / 6 D. 2 /3 11.半球内有一内接正方体,正方体的一面在半球底面圆内,若正方体棱长为 6 ,则半球表面积为( ). A.18 B. 20 C. 27 D.36 12.设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,若 ABC 是面积为 9 3的等边三角形,则三棱锥 D ABC 体积的最大值为( ). A.12 3 B.18 3 C. 24 3 D. 54 3 13.四棱锥P ABCD 存在外接球是四边形 ABCD存在外接圆的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高考复习 · 核心考点 题组归源 · 刻意练习 第 41 页 共 98 页 三、刻意练习 1.若八个顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ,体积为16 ,则球的表面积为( ). A. 24 B. 40 C.96 D.160 2.在直三棱柱 111 CBAABC  中,若 12, 4, 90AB AC AA BAC      ,则其外接球的表面积( ). A.32 B.36 C. 42 D.50 3.若平面 截球O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面 的距离为 2 ,则此球的体积为( ). A. 6 B. 4 3 C. 4 6 D.6 3 4.棱长为 1 的正方体的内切球的表面积为( ). A. B. /3 C. 4 D. 4 /3 5.若四面体 ABCD满足 6AB CD  , 2AC AD BC BD    ,则外接球的表面积是( ). A.7 B.8 C.14 D.16