6.4.4 平面向量的应用之正弦定理【教学设计+课件】-高中数学新教材必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 正弦定理课时教学设计 1、 课题：正弦定理 2、 教学内容：正弦定理的引入、证明、应用 内容分析：本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通. 三、教学目标 3.1借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养. 3.2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等数学素养的核心素养. 四、教学重点、难点 4.1. 重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 4.2. 难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明. 五、教学过程设计 引导语： 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ （一）正弦定理的发现与证明 问题1.在△ABC 中，设 A 的对边为α，B 的对边为b，能求 A，B，α，b 之间的定量关系吗？ 问题1.1 如图，我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数定义，你能找到上面四个基本量的关系吗？ 问题1.2对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 问题1.3 △ABC 中的边α，b，c 与它们所对角 A，B，C 的正弦之间的关系式是什么？ 师生活动：在直角三形中，∠ACB=90°，根据锐角三角函数定义可知， 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.我们希望获得△ABC 中的边α，b，c 与它们所对角 A，B，C 的正弦之间的关系式，在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究. ①在锐角三角形中 即 同理过C点做得 所以在锐角三角形中 ②在钝角三角形中 设，过点A作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为， 仿照上述方法，可得 正弦定理： 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言： 设计意图：引导学生利用平面向量的方法分情况证明正弦定理, 初步了解正弦定理的含义. （二）正弦定理的应用 问题2：回忆余弦定理可以解决哪些解三角形的问题，那么正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？ 师生活动：余弦定理可以解决已知两边一夹角和三边的问题，引导学生分析正弦定理等式，确定几个基本元素可以解三角形. 经过分析可知正弦定理可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题. 设计意图：通过类比余弦定理，得到正弦定理的适用范围，方便进行区分. 揭示正弦定理能够解决解三角形中的哪些类型问题. （三）例题讲解 例1．在中，已知解这个三角形 师生活动：分析此题已经具备三角形的两角一边的条件，可以直接用正弦定理求解. 设计意图：在已知三角形的两角一边的时候，先求第三个角，引导学生观察正弦定理的公式，相对于知道了三个分母，只要知道任何一边，就可以用正弦定理求剩下的两边. 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 例2．在中，已知，解这个三角形. 追问1：在此题中我们已经具备了哪些条件？可以用哪个定理求解？ 追问2：请大家思考一下，这样的三角形是一个，还是两个？为什么？ 追问3：在中，已知，解这个三角形. 追问4：在中，已知，解这个三角形. 师生活动：已知两边及一边的对角，可用正弦定理求解.回答了追问1.下面的的答题过程解决追问2. 由正弦定理，得 ∵，∴ 于是 （1）当时， 此时 （2）当时， 此时 回答追问3，由正弦定理，得 ∵，∴ 于是 ∴由勾股定理得 回答追问4， 由正弦定理，得 ∴无解 设计意图：在三角形全等的定理中有“边角边”“边边边”“角角边”，但是没有“边边角”，所以这种提醒的解的个数不确定，追问3、4就是教会学生分析何时有只有一个解和没有解情况. （四）课堂小结 通过今天的学习，大家回忆一下，我们都学习了哪些知识？ 在解决问题时，运用了那些数学思想？ 师生活动：正弦定理： 应用:（1）已知两角一边解三角形