第六章 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合运用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理的综合运用 ［学习目标］　1.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.(重点) 2.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.(重点) 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.(难点) 一、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例1　在△ABC中，若acos A=bcos B，试判断△ABC的形状. 解　方法一　由正弦定理=，得=. 又acos A=bcos B，∴=， ∴=， ∴sin Acos A=sin Bcos B， ∴2sin Acos A=2sin Bcos B，即sin 2A=sin 2B， ∵A，B为三角形内角， ∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二　由已知及余弦定理，得 a·=b·， ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)， 即a2b2+a2c2-a4=b2a2+b2c2-b4， ∴a2c2-b2c2-(a4-b4)=0， ∴(a2-b2)［c2-(a2+b2)］=0， 从而a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0， 即a=b或c2=a2+b2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 延伸探究　若把本例中“acos A=bcos B”改为“=”，试判断△ABC的形状. 解　由正弦定理=，得=， 又=，∴=， ∴=，即sin Acos B-cos Asin B=0， ∴sin(A-B)=0， ∵-π<A-B<π，∴A-B=0，∴A=B， ∴△ABC为等腰三角形. 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. (3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 跟踪训练1　已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，=，则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 答案　D 解析　因为=， 所以a2tan B=b2tan A， 所以由正弦定理，得sin 2Atan B=sin 2Btan A， 即sin 2A·=sin 2B·. 在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π， 所以sin A≠0，sin B≠0， 所以sin Acos A=sin Bcos B，即sin 2A=sin 2B， 所以2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B=， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 二、三角形面积公式 问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S=bh=absin C. 知识梳理 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S= absin C=bcsin A=casin B.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C=180°， sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C.  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 例2　(1)在△ABC中，A=30°，C=45°，a=2，求S△ABC； (2)若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，求边AB的长度. 解　(1)方法一　因为A=30°，C=45°， 所以B=105°， 由正弦定理=， 得b===+， S△ABC=absin C=×2×(+)× =+1. 方法二　设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得==4=2R，所以R=2. 又A=30°，C=45°，所以B=105°， 所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1. (2)方法一　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4， 所以AB=2，即边AB的长度为2. 方法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2， 所以AC=BC=2，又C=60°， 所以△ABC为等边三角形，所以AB=2， 即边AB的长度为2. 反思感悟　(1)求三角形的面积时，要充分挖掘题目中的条件，通过内角和定理及解三角形等途径，求得三角形的两边及其夹角，进而利用三角形的面积公式求解.在解题过程中，要注意方程思想在解题中的应用. (2)求三角形面积的最值时，要注意函数求最值的方法，尤其是基本不等式的应用. 跟踪训练2　(1)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC. 解　在△ABC中，由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B， 得49=64+c2-16c×， 整理得c2-8c+15=0， 解得c=3或c=5. 当c=3时， S△ABC=acsin B=×8×3×=6； 当c=5时， S△ABC=acsin B=×8×5×=10. (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=，(2a-c)cos B=cos C，则△ABC面积的最大值是　　　　.  答案　 解析　∵b=， ∴(2a-c)cos B=bcos C. 由正弦定理，得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C， ∴2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B=， 又B∈(0，π)，∴B=. 由余弦定理的推论，可得=， 即a2+c2=3+ac≥2ac(当且仅当a=c时取等号)，∴ac≤3， ∴S△ABC=acsin B≤， 即△ABC面积的最大值为. 三、正弦、余弦定理的综合应用 例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b-c=2，cos A=-. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值. 解　(1)在△ABC中，∵cos A=-，∴A∈， ∴sin A==， 由△ABC的面积为，可得bcsin A=， 可得bc=8. 又b-c=2，解得b=4，c=2或b=-2，c=-4(舍去)， ∴b=4，c=2， ∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×8×=24， ∴a=2，又由正弦定理=， 得sin C=， ∴a=2，sin C=. (2)由(1)知，sin C=，b>c，∴C∈， ∴cos C==， cos 2C=2cos2C-1=， sin 2C=2sin Ccos C=， ∴cos=cos 2Ccos-sin 2Csin =×-×=. 反思感悟　正弦、余弦定理的综合应用，有两种考查形式： (1)考查综合应用正弦、余弦定理来解三角形，这需要我们把握好两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，解题中有意识地考虑用哪个定理更合适. (2)解三角形与三角恒等变换以及其他知识的结合，我们要充分利用条件，先通过正弦、余弦定理求出三角形的某些边角，再通过三角函数的公式解决化简求值或研究函数的性质的综合问题. 跟踪训练3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A+csin C-asin C=bsin B. (1)求B的大小； (2)若A=75°，b=2，求a，c的值. 解　(1)由正弦定理，得a2+c2-ac=b2，即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理的推论，得cos B==. 又0°<B<180°，因此B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 故由正弦定理，得a=b·=1+. 由已知得，C=180°-45°-75°=60°， 故c=b·=2×=. 1.知识清单： (1)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (2)三角形的面积公式及面积的最值问题. (3)正弦、余弦定理的综合应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 1.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的 答案　A 解析　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，三边都增加x(x>0)，则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形. 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立， 解得ab=4，则S△ABC=absin C=. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　A 解析　在△ABC中，cos A=cos C，A，C∈(0，π)， 由函数y=cos x在(0，π)上单调递减，可得A=C. 由正弦定理及3b=2asin B， 得3sin B=2sin Asin B， 又0<B<π，所以sin B>0，所以sin A=， 显然A为锐角，从而有A=60°，则C=60°，进而得B=60°，所以△ABC是等边三角形. 4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　　.  答案　1 解析　由sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a， 又a+c=3，∴c=3-a， 由余弦定理的推论，得cos C===， 整理得a2+2a-3=0，解得a=1(负值舍去). 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+b=4，c=，C=，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由余弦定理可得7=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=16-3ab，所以ab=3. 所以S=absin C=×3×=. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2acos B，则△ABC的形状一定是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案　C 解析　∵c=2acos B，∴由正弦定理得2cos Bsin A=sin C， 即2cos Bsin A=sin(A+B) =cos Bsin A+cos Asin B， ∴sin Acos B-cos Asin B=0，即sin(A-B)=0， 又∵-π<A-B<π，∴A-B=0，∴A=B. ∴△ABC是等腰三角形. 3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=，且sin A=2sin C，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为sin A=2sin C， 所以由正弦定理可得a=2c， 又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos =3c2， 所以b=c，即=. 4.(多选)在△ABC中，若a=2bsin A，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　由正弦定理，得sin A=2sin Bsin A，所以sin A·(2sin B-)=0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B=，所以B=或. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=5，C=60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为(　　) A.8+ B.9+ C.10+ D.14 答案　B 解析　由题意及三角形的面积公式，得absin C=5，即a×5×=5，解得a=4，根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=16+25-2×4×5×=21，即c=，所以△ABC的周长为9+. 6.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，BC边上的高等于，则以下四个结论正确的是(　　) A.cos C= B.sin A= C.tan A=3 D.b2-c2= 答案　ABD 解析　如图，过点A作AD⊥BC于点D，所以AD=， 由B=，可得BD=，CD=，c=AB=a，b=AC=a， 所以cos C===，故A正确； 由cos C=，可得sin C=， 由=， 可得sin∠BAC=，故B正确； 由tan∠DAC==2，所以∠DAC>， 而∠BAD=，所以∠BAC>， 所以cos∠BAC=-，tan∠BAC=-3，故C错误； 又b2-c2=-=，故D正确. 7.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a-b=c(cos B-cos A)，则△ABC的形状为　　　　　　　　　.  答案　等腰三角形或直角三角形 解析　由余弦定理可得cos A=， cos B=， 代入a-b=c(cos B-cos A)=ccos B-ccos A，得a-b=-， 等式两边同乘2ab，得 2a2b-2ab2=a2b+c2b-b3-ab2-ac2+a3， 移项合并，得a2b-ab2+(-c2b+ac2)-(a3-b3)=0， 整理，得ab(a-b)+c2(a-b)-(a-b)(a2+ab+b2)=0，即(a-b)(c2-a2-b2)=0， 可得a=b或a2+b2=c2， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形. 8.(5分)已知在△ABC中，AC=2，AB=3，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，则AD=　　　　.  答案　 解析　如图，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×3×2×sin 60°=×3AD×sin 30°+×2AD×sin 30°，∴AD=. 9.(10分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C+c=b. (1)求A的大小；(5分) (2)若a=1，b=，求c的值.(5分) 解　(1)由acos C+c=b， 得sin Acos C+sin C=sin B. 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C， 所以sin C=cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A=. 因为0<A<π，所以A=. (2)由正弦定理，得sin B==. 所以B=或. ①当B=时，由A=，得C=， 所以c=2； ②当B=时，由A=，得C=， 所以c=a=1. 综上可得，c=1或2. 10.(10分)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C+ccos B=2acos A. (1)求角A的大小；(4分) (2)若b=2，求△ABC面积的取值范围.(6分) 解　(1)因为bcos C+ccos B=2acos A， 由正弦定理，可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A， 即sin(B+C)=2sin Acos A， 即sin A=2sin Acos A， 因为在锐角△ABC中，0<A<，所以sin A≠0， 所以cos A=，所以A=. (2)由正弦定理=，得c=， S△ABC=bcsin A=c=， 因为A=，所以C=-B， 所以S△ABC== =·+， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<， 则tan B∈，所以S△ABC∈， 故△ABC面积的取值范围是. 11.如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为(　　) A.4 B.4 C.8 D.4 答案　D 解析　在△ADC中，因为DC=5，DA=7，AC=8， 所以cos∠ADC==， 因此cos∠ADB=-，所以sin∠ADB=， 在△ABD中，又B=45°， 由正弦定理=， 得AB===4. 12.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，cos C=1-，则C的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得，在△ABC中，ab=， 则S△ABC=absin C==， 因为0<C<π， 则0<<，则tan >0， 所以==， 可得tan =，所以=， 故C=. 13.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C=sin2C，则=　　　　，角C的最大值为　　　　.  答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C=sin2C， ∴2abcos C=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒=2， ∴cos C==≥， ∵0<C<π，∴0<C≤，当且仅当a=b时取等号. 即角C的最大值为. 14.(5分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若B=，a2+c2=4ac，则=　　　　.  答案　 解析　由已知及余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=5ac， 则由正弦定理，得sin2B=5sin Asin C=， 所以sin Asin C=， 所以==. 15.(多选)如图，△ABC的内角∠CAB，B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B，且∠CAB=.若D是△ABC外一点，DC=1，AD=3，则下列说法中正确的是(　　) A.△ABC的内角B= B.△ABC的内角∠ACB= C.四边形ABCD面积的最大值为+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 答案　ABC 解析　∵(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B， ∴(sin∠CABcos∠ACB+sin∠ACBcos∠CAB)=2sin2B， ∴sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B， ∴sin B=2sin2B. 又sin B≠0，∴sin B=. ∵∠CAB=，∴B∈， ∴B=，∴∠ACB=π-∠CAB-B=，因此A，B正确； 四边形ABCD的面积等于S△ABC+S△ACD=AC2+AD·DCsin∠ADC=(AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC)+AD·DCsin∠ADC=(9+1-6cos∠ADC)+×3×1×sin∠ADC=+3sin≤+3，当且仅当∠ADC-=，即∠ADC=时，等号成立，因此C正确，D错误. 16.(12分)如图在五边形ABCDE中，CD=3AB=3BC=，∠ABC=∠BCD=，∠AED=. (1)求线段AD的长；(6分) (2)设∠DAE=α，△ADE的面积为S，则S=f(α)，求f(α)的表达式，并求S的最大值.(6分) 解　(1)方法一　由题意可得与的夹角是，与的夹角是，与的夹角是，又知AB=BC=，CD=， 可求得·=，·=，·=-. 因为=++，所以有 ==+++2·+2·+2· =+++2=， 所以AD=. 方法二　连接AC(图略)，在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=，所以AC=. 因为AB=BC，所以∠BAC=∠ACB=， 因为∠BCD=，所以∠ACD=，即AC⊥CD. 在Rt△ACD中，AD===. (2)在△ADE中，因为∠DAE=α，∠AED=，所以∠ADE=-α. 由正弦定理得===，所以AE=sin，DE=sin α， 所以S=f(α)=AE·DEsin=sinsin α=， 因为0<α<，所以-<2α-<， 所以当2α-=，即α=时， Smax=×=， 所以S的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合运用 1.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.(重点) 2.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.(重点) 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.(难点) 学习目标 一、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 二、三角形面积公式 课时对点练 三、正弦、余弦定理的综合应用 随堂演练 内容索引 一 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，若acos A=bcos B，试判断△ABC的形状. 例 1 5 方法一　由正弦定理==. 又acos A=bcos B，∴=， ∴=， ∴sin Acos A=sin Bcos B， ∴2sin Acos A=2sin Bcos B，即sin 2A=sin 2B， ∵A，B为三角形内角， ∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 6 方法二　由已知及余弦定理，得 a·=b·， ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)， 即a2b2+a2c2-a4=b2a2+b2c2-b4， ∴a2c2-b2c2-(a4-b4)=0， ∴(a2-b2)［c2-(a2+b2)］=0， 从而a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0， 即a=b或c2=a2+b2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 7 若把本例中“acos A=bcos B”改为“=”，试判断△ABC的形状. 延伸探究 8 由正弦定理==， 又=，∴=， ∴=，即sin Acos B-cos Asin B=0， ∴sin(A-B)=0， ∵-π<A-B<π，∴A-B=0，∴A=B， ∴△ABC为等腰三角形. 9 (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. (3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 反 思 感 悟 判断三角形形状的方法及注意事项 10 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，=，则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 跟踪训练 1 √ 11 因为=， 所以a2tan B=b2tan A， 所以由正弦定理，得sin 2Atan B=sin 2Btan A， 即sin 2A·=sin 2B·. 在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0， 所以sin Acos A=sin Bcos B，即sin 2A=sin 2B， 所以2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B=，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 12 二 三角形面积公式 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 问题 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S=bh=absin C. 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，则△ABC的面积公式为S=_________=__________=__________.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C= ， sin(A+B)= ，cos(A+B)= .  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.  absin C bcsin A casin B 180° sin C -cos C 知识梳理 (1)在△ABC中，A=30°，C=45°，a=2，求S△ABC； 例 2 16 方法一　因为A=30°，C=45°， 所以B=105°， 由正弦定理=， 得b===+， S△ABC=absin C=×2×(+)×=+1. 17 方法二　设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得==4=2R，所以R=2. 又A=30°，C=45°，所以B=105°， 所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1. 18 (2)若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，求边AB的长度. 19 方法一　由S△ABC=AC·BC·sin C=，得AC=2， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4， 所以AB=2，即边AB的长度为2. 方法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2， 所以AC=BC=2，又C=60°， 所以△ABC为等边三角形，所以AB=2， 即边AB的长度为2. 20 反 思 感 悟 (1)求三角形的面积时，要充分挖掘题目中的条件，通过内角和定理及解三角形等途径，求得三角形的两边及其夹角，进而利用三角形的面积公式求解.在解题过程中，要注意方程思想在解题中的应用. (2)求三角形面积的最值时，要注意函数求最值的方法，尤其是基本不等式的应用. (1)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC. 跟踪训练 2 22 在△ABC中，由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B， 得49=64+c2-16c×， 整理得c2-8c+15=0， 解得c=3或c=5. 当c=3时， S△ABC=acsin B=×8×3×=6； 当c=5时，S△ABC=acsin B=×8×5×=10. 23 (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=，(2a-c)cos B =cos C，则△ABC面积的最大值是　　　　.  24 ∵b=， ∴(2a-c)cos B=bcos C. 由正弦定理，得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C， ∴2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B=， 又B∈(0，π)，∴B=. 25 由余弦定理的推论，可得=， 即a2+c2=3+ac≥2ac(当且仅当a=c时取等号)，∴ac≤3， ∴S△ABC=acsin B≤， 即△ABC面积的最大值为. 26 三 正弦、余弦定理的综合应用 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b-c=2，cos A=-. (1)求a和sin C的值； 例 3 28 在△ABC中，∵cos A=-，∴A∈， ∴sin A==， 由△ABC的面积为bcsin A=， 可得bc=8. 又b-c=2，解得b=4，c=2或b=-2，c=-4(舍去)， ∴b=4，c=2， ∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×8×=24， 29 ∴a=2=， 得sin C=， ∴a=2，sin C=. 30 (2)求cos的值. 31 由(1)知，sin C=，b>c，∴C∈， ∴cos C==， cos 2C=2cos2C-1=， sin 2C=2sin Ccos C=， ∴cos=cos 2Ccos-sin 2Csin=×-×=. 32 反 思 感 悟 正弦、余弦定理的综合应用，有两种考查形式： (1)考查综合应用正弦、余弦定理来解三角形，这需要我们把握好两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，解题中有意识地考虑用哪个定理更合适. (2)解三角形与三角恒等变换以及其他知识的结合，我们要充分利用条件，先通过正弦、余弦定理求出三角形的某些边角，再通过三角函数的公式解决化简求值或研究函数的性质的综合问题. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A+csin C-asin C=bsin B. (1)求B的大小； 跟踪训练 3 由正弦定理，得a2+c2-ac=b2，即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理的推论，得cos B==. 又0°<B<180°，因此B=45°. 34 (2)若A=75°，b=2，求a，c的值. sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 故由正弦定理，得a=b·=1+. 由已知得，C=180°-45°-75°=60°， 故c=b·=2×=. 35 1.知识清单： (1)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (2)三角形的面积公式及面积的最值问题. (3)正弦、余弦定理的综合应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 课堂小结 36 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的 √ 1 2 3 4 设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，三边都增加x(x>0)，则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形. 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为 A. B. C. D.2 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立， 解得ab=4，则S△ABC=absin C=. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 在△ABC中，cos A=cos C，A，C∈(0，π)， 由函数y=cos x在(0，π)上单调递减，可得A=C. 由正弦定理及3b=2asin B， 得3sin B=2sin Asin B， 又0<B<π，所以sin B>0，所以sin A=， 显然A为锐角，从而有A=60°，则C=60°，进而得B=60°，所以△ABC是等边三角形. 4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　.  1 2 3 4 1 1 2 3 4 由sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a， 又a+c=3，∴c=3-a， 由余弦定理的推论，得cos C===， 整理得a2+2a-3=0，解得a=1(负值舍去). 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A AC B ABD 等腰三角形或直角三角形 题号 11 12 13 14 　15 答案 D D 2　 ABC 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由acos C+c=b， 得sin Acos C+sin C=sin B. 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C， 所以sin C=cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A=. 因为0<A<π，所以A=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)由正弦定理，得sin B==.所以B=或. ①当B=时，由A=，得C=， 所以c=2； ②当B=时，由A=，得C=， 所以c=a=1. 综上可得，c=1或2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为bcos C+ccos B=2acos A， 由正弦定理，可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A， 即sin(B+C)=2sin Acos A， 即sin A=2sin Acos A， 因为在锐角△ABC中，0<A<， 所以sin A≠0， 所以cos A=，所以A=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由正弦定理=， 得c=， S△ABC=bcsin A=c=， 因为A=，所以C=-B， 所以S△ABC===·+， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<， 则tan B∈， 所以S△ABC∈，故△ABC面积的取值范围是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)方法一　由题意可得与的夹角是，与的夹角是，与的夹角是，又知AB=BC=，CD=，可求得·=， ·=，·=-. 因为=++，所以有 ==+++2·+2·+2· =+++2=，所以AD=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 方法二　连接AC(图略)，在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC =，所以AC=. 因为AB=BC，所以∠BAC=∠ACB=， 因为∠BCD=，所以∠ACD=，即AC⊥CD. 在Rt△ACD中，AD===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)在△ADE中，因为∠DAE=α，∠AED=，所以∠ADE=-α. 由正弦定理得===， 所以AE=sin， DE=sin α， 所以S=f(α)=AE·DEsin=sinsin α=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为0<α<， 所以-<2α-<， 所以当2α-=，即α=时， Smax=×=， 所以S的最大值是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+b=4，c=，C=，则△ABC的面积为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理可得7=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=16-3ab，所以ab=3. 所以S=absin C=×3×=. 答案 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2acos B，则△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵c=2acos B，∴由正弦定理得2cos Bsin A=sin C， 即2cos Bsin A=sin(A+B)=cos Bsin A+cos Asin B， ∴sin Acos B-cos Asin B=0，即sin(A-B)=0， 又∵-π<A-B<π，∴A-B=0，∴A=B. ∴△ABC是等腰三角形. 答案 3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=，且sin A=2sin C，则的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin A=2sin C， 所以由正弦定理可得a=2c， 又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos =3c2， 所以b=c，即=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)在△ABC中，若a=2bsin A，则B等于 A. B. C. D. √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理，得sin A=2sin Bsin A，所以sin A·(2sin B-)=0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B=，所以B=. 答案 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=5，C=60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为 A.8+ B.9+ C.10+ D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意及三角形的面积公式，得absin C=5a×5×=5，解得a=4，根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=16+25-2×4×5×=21，即c=，所以△ABC的周长为9+. 答案 6.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，BC边上的高等于，则以下四个结论正确的是 A.cos C= B.sin A= C.tan A=3 D.b2-c2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点A作AD⊥BC于点D，所以AD=， 由B=，可得BD=，CD=，c=AB=a，b=AC=a， 所以cos C===，故A正确； 由cos C=，可得sin C=， 由=，可得sin∠BAC=，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由tan∠DAC==2，所以∠DAC>， 而∠BAD=，所以∠BAC>， 所以cos∠BAC=-，tan∠BAC=-3，故C错误； 又b2-c2=-=，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a-b=c(cos B-cos A)， 则△ABC的形状为　　　　　　　　　　　　　.  16 等腰三角形或直角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由余弦定理可得cos A=， cos B=， 代入a-b=c(cos B-cos A)=ccos B-ccos A，得a-b=-， 等式两边同乘2ab，得 2a2b-2ab2=a2b+c2b-b3-ab2-ac2+a3， 移项合并，得a2b-ab2+(-c2b+ac2)-(a3-b3)=0， 整理，得ab(a-b)+c2(a-b)-(a-b)(a2+ab+b2)=0，即(a-b)(c2-a2-b2)=0， 可得a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知在△ABC中，AC=2，AB=3，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线， 则AD=　　　　.  16 如图，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×3×2×sin 60°=×3AD×sin 30°+×2AD×sin 30°， ∴AD=. 答案 72 9.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C+c =b. (1)求A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由acos C+c=b， 得sin Acos C+sin C=sin B. 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C， 所以sin C=cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A=. 因为0<A<π，所以A=. 答案 (2)若a=1，b=，求c的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理，得sin B==. 所以B=. ①当B=时，由A=，得C=， 所以c=2； ②当B=时，由A=，得C=， 所以c=a=1. 综上可得，c=1或2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C+ccos B =2acos A. (1)求角A的大小； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为bcos C+ccos B=2acos A， 由正弦定理，可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A， 即sin(B+C)=2sin Acos A， 即sin A=2sin Acos A， 因为在锐角△ABC中，0<A<，所以sin A≠0， 所以cos A=，所以A=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若b=2，求△ABC面积的取值范围. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理=，得c=， S△ABC=bcsin A=c=， 因为A=，所以C=-B， 所以S△ABC===·+， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC为锐角三角形， 所以<B<， 则tan B∈，所以S△ABC∈， 故△ABC面积的取值范围是. 答案 11.如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为 A.4 B.4 C.8 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ADC中，因为DC=5，DA=7，AC=8， 所以cos∠ADC==， 因此cos∠ADB=-，所以sin∠ADB=， 在△ABD中，又B=45°， 由正弦定理=， 得AB===4. 答案 12.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，cos C=1-，则C的值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，在△ABC中，ab=， 则S△ABC=absin C==， 因为0<C<π， 则0<<，则tan >0， 所以==，可得tan ==， 故C=. 答案 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C =sin2C，则=　　　，角C的最大值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2sin Asin Bcos C=sin2C， ∴2abcos C=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒=2， ∴cos C==≥， ∵0<C<π，∴0<C≤，当且仅当a=b时取等号. 即角C的最大值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若B=，a2+c2=4ac，则=　　　　.  16 由已知及余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=5ac， 则由正弦定理，得sin2B=5sin Asin C=， 所以sin Asin C=， 所以==. 答案 15.(多选)如图，△ABC的内角∠CAB，B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B，且∠CAB=.若D是△ABC外一点，DC=1，AD=3，则下列说法中正确的是 A.△ABC的内角B= B.△ABC的内角∠ACB= C.四边形ABCD面积的最大值为+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B， ∴(sin∠CABcos∠ACB+sin∠ACBcos∠CAB)=2sin2B， ∴sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B， ∴sin B=2sin2B. 又sin B≠0，∴sin B=. ∵∠CAB=，∴B∈， ∴B=，∴∠ACB=π-∠CAB-B=，因此A，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四边形ABCD的面积等于 S△ABC+S△ACD=AC2+AD·DCsin∠ADC =(AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC)+AD·DCsin∠ADC =(9+1-6cos∠ADC)+×3×1×sin∠ADC=+3sin≤ +3，当且仅当∠ADC-=，即∠ADC=时，等号成立，因此C正确，D错误. 答案 16.如图在五边形ABCDE中，CD=3AB=3BC=，∠ABC=∠BCD=，∠AED=. (1)求线段AD的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意可得，又知AB=BC=，CD=， 可求得·=·=·=-. 因为=++，所以有 ==+++2·+2·+2· =+++2=，所以AD=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　连接AC(图略)，在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC =，所以AC=. 因为AB=BC，所以∠BAC=∠ACB=， 因为∠BCD=，所以∠ACD=，即AC⊥CD. 在Rt△ACD中，AD===. 答案 (2)设∠DAE=α，△ADE的面积为S，则S=f(α)，求f(α)的表达式，并求S的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ADE中，因为∠DAE=α，∠AED=，所以∠ADE=-α. 由正弦定理得===，所以AE=sin，DE=sin α， 所以S=f(α)=AE·DEsin=sinsin α=， 因为0<α<，所以-<2α-<，所以当2α-=，即α=时， Smax=×=， 所以S的最大值是. 答案 第一章 <<< $$