1.1.1 集合及其表示方法 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

1.1.1 集合及其表示方法 一、元素与集合的概念及表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 二、元素的特性 1、确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 2、互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． 利用集合中元素的特异性求参数： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、元素与集合关系的判断方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 四、常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 六、描述法 1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 2、用描述法表示集合 （1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 题型一 判断元素能否构成集合 【例1】下列给出的对象能构成集合的是（ ） A．平面直角坐标系内y轴附近的点 B．26个英文字母 C．新华书店中有意义的小说 D．的近似值 【答案】B 【解析】选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合； 选项B中的26个英文字母能构成集合，故选：B. 【变式1-1】下列对象能构成集合的是（ ） A．高一年级全体较胖的同学 B．接近于0的数 C．全体很大的自然数 D．平面内到三个顶点距离相等的所有点 【答案】D 【解析】A中的“较胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都没有一个明确的标准， 不满足元素的确定性，所以A，B，C中的对象均不能构成集合， 显然D中的对象满足元素的确定性，则能构成集合．故选：D． 【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（ ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 【答案】C 【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合， 一次函数，元素是确定的，可以形成集合， 大于2的所有实数，能形成集合， 而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定， 因而这里的学生就不确定， 所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C 【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合. ③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合. ④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A 【变式1-4】下面能构成集合的是