专题05 三角形（5个考向）-5年（2018-2022）中考1年模拟数学分项汇编（山西专用）

专题05三角形 考向1勾股定理的证明与计算 1．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【解析】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 2．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　4　． 【答案】4 【解析】如图，连接AE，AF，EN， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF， ∴∠EAF＝90°， ∴△EAF为等腰直角三角形， ∵AN⊥EF， ∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°， ∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS）， ∴EN＝FN， 设DN＝x， ∵BE＝DF＝5，CN＝8， ∴CD＝CN+DN＝x+8， ∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3， 在Rt△ECN中，由勾股定理可得： CN2+CE2＝EN2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20， ∴AN4， 故答案为：4． 考向2等腰三角形的性质与判定 3．（2019•山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°， 故选：C． 考向3全等三角形的性质与判定 4．（2019•山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF． 证明：∵AD＝BE， ∴AD﹣BD＝BE﹣BD， ∴AB＝ED， ∵AC∥EF， ∴∠A＝∠E， 在△ABC和△EDF中，， ∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC＝DF． 考向4与三角形相关的综合实践 5．（2022•山西）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N． 猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长． 解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下： ∵点D是BC的中点，点M是AB的中点， ∴MD∥AC，∴∠A+∠AMD＝180°， ∵∠BAC＝90°，∴∠AMD＝90°， ∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°， ∴四边形AMDN是矩形； （2）如图2，过点N作NG⊥CD于G， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD＝5， ∵∠MDN＝90°＝∠A， ∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°， ∴∠1＝∠C，∴DN＝CN， 又∵NG⊥CD，∴DG＝CG， ∵cosC， ∴，∴CN； （3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H， ∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠AMN＝∠ANM＝45°， ∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴点A，点M，点D，点N四点共圆， ∴∠ADN＝∠AMN＝45°，∵NH⊥AD， ∴∠ADN＝∠DNH＝45°，∴DH＝HN， ∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°， ∴AD＝CD＝5，∴∠C＝∠DAC， ∴tanC＝tan∠DAC，∴AHHN， ∵AH+HD＝AD＝5，∴DH＝HN，AH， ∴AN． 解法二：如图，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT． 设AM＝AN＝a．证明CT＝BM＝