3.2.2 函数的奇偶性 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【例】设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________． 解 由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示．从图上可以看出的解集是． 【练】如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小． 解 函数是偶函数，其图象关于轴对称，如图． 由图象可知． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型1】判断函数的奇偶性 【典题1】 判断下列函数的奇偶性 ； ； ； ； ． 解析 (1)函数的定义域为不关于原点对称， 故函数既不是奇函数，又不是偶函数． (2) 函数的定义域为且，，， 且． 函数既是奇函数，又是偶函数． (3)函数的定义域为， ， 函数是奇函数． (4)函数的定义域为． 方法1 ，函数是偶函数． 方法2 和是偶函数，函数是偶函数． (5) 方法1 ，，则，即不是偶函数； ，即不是奇函数； 故既不是奇函数，又不是偶函数． 方法2 画出函数图象如下图， 函数图象即不关于轴对称，也不关于原点对称， 故 既不是奇函数，又不是偶函数． 点拨 判断函数的奇偶性的方法有 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系： 若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 【巩固练习】 1. 函数的奇偶性为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案 解析 ,是奇函数. 2. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案 解析 ，是奇函数. 3.如果定义在区间上的函数为奇函数，那么________. 答案 解析 是上的奇函数，区间关于原点对称， ，. 4.判断函数的奇偶性． 答案 奇函数 解析 解法一：函数的定义域为， 当时，，． 当时，， ． 综上所述，在上总有． 因此函数是奇函数． 解法二：作出函数的图象，如图所示． 函数的图象关于原点对称，所以是奇函数． 【题型2】函数奇偶性的运用 【典题1】 若函数的图象关于轴对称，则常数 (　　) 或 不存在 解析 可知函数为偶函数，则， 令得，，即，解得， 将代入解析式验证，符合题意．故选：． 点拨 函数为偶函数，则是对于定义域内任意均成立的，故本题令求得，但最后需要检验.解答题这样求解不够严谨. 【典题2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 解析 根据题意，函数是定义域为的奇函数，则， 则有，解可得， 则， 又由为奇函数，则. 点拨 若奇函数的定义域内能取到，则. 【典题3】 已知函