专题2 培优点8 向量极化恒等式-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：a·b＝－，a·b＝－. 如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2. 例1　(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________. 答案　－16 解析　如图所示，由极化恒等式，易得·＝2－2＝32－52＝－16. (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________． 答案　 解析　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， 得·＝2－2＝9n2－m2＝4，① ·＝2－2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. 例2　(1)已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值是________． 答案　1 解析　如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，·有最小值，即 ·＝2－2＝()2－12＝1. (2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________． 答案　[0,2] 解析　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　) A. B．2 C. D. 答案　B 解析　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝2－2＝2－， 所以当P与A(B)重合时，|PE|＝最大，从而(·)max＝2. 2．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC 答案　D 解析　如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式， 有·＝2－2，·＝2－2. 又·≥·，则||≥||恒成立， 必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC. 3．设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，如图所示，则·的取值范围是________． 答案　[0,16] 解析　取CD的中点E，由极化恒等式得 ·＝2－2 ＝||2－||2＝||2－4， 由图知2≤||≤2， 故·∈[0,16]． 4．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________． 答案　－ 解析　如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2·，由极化恒等式得·＝2－2＝2－，因此当P为OC中点时，即||＝0时， (＋)·取得最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $