专题2 培优点6 平面向量数量积的最值与范围问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

平面向量数量积的最值与范围问题 平面向量的数量积是平面向量的重要内容，求解平面向量数量积的最值与范围问题，要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例1　(1)(2021·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 答案　A 解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(0,1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，y)， 所以＝(－x,1－y)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)， 所以＋＝(－2x，－2y)， ·(＋)＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋22－≥－， 当P时，所求的最小值为－. (2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则x·的最小值为________． 答案　5－2 解析　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)， 设P(2cos θ，2sin θ)， 则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)， 其中0<tan φ＝<， 所以0<φ<， 当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2. 例2　(1)(2021·九江模拟)点O为坐标原点，若A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°，点P在直线3x＋4y＋25＝0上运动，则·的最小值是(　　) A．－3 B．－4 C．－5 D．－6 答案　A 解析　如图，取线段AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB， ∵A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°，则OM＝2，即M点轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆.·＝(＋)·(＋)＝2＋(＋)·＋·＝2－12， 设原点到直线3x＋4y＋25＝0的距离为d， 则d＝＝5， ∴PMmin＝d－2＝3，·的最小值是－3. (2)(2021·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　) A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1 答案　C 解析　因为|＋|2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||·||cos ＝12， 所以|＋|＝2， 由平面向量模的三角不等式可得||＝|(－－)＋(＋)|≥||－－|－|＋||＝2－1. 当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立． 因此||的最小值为2－1. 与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 1．已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2， 即12(a·b)2＋2a·b－2＝0， 整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0， 所以a·b＝－或a·b＝， 因为|a－b|＝－2a·b≥0， 所以a·b≤0，所以a·b＝－， 所以|ta＋b|＝＝＝＝≥. 2．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)， ＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)， ∴P(1,4)， ·＝·(－1，t－4) ＝17－≤17－2＝13， 当且仅当t＝时等号成立． ∴·的最大值等于13. 3．(2021·天津模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足＝，则·的最小值为________． 答案　 解析　设＝＝t,0≤t≤1， ＝＋＝＋t＝＋t， ＝＋＋＝＋＋t＝＋－t＝(1－t)＋， 所以·＝(＋t)·[(1－t)＋] ＝(1－t)2＋t2＋(1＋t－t2)· ＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2× ＝2t2－2t＋2＝22＋， 因为0≤t≤1，所以当t＝时，2t2－2t＋2取得最小值，即·的最小值为. 4．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是________． 答案　[－1，＋