专题2 第3讲 三角恒等变换与解三角形-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第3讲　三角恒等变换与解三角形 [考情分析]　1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查解三角形、求面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度． 考点一　三角恒等变换 核心提炼 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 例1　(1)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 等于(　　) A．2 B. C.或不存在 D．不存在 答案　C 解析　∵2sin θ＝1＋cos θ， ∴4sin cos ＝1＋2cos2－1，则4sin cos ＝2cos2， 当cos ＝0时，tan 不存在； 当cos ≠0时，tan ＝. (2)若0<α<<β<π，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因为0<α<<β<π，所以α＋β∈， 所以cos(α＋β)<0， 因为sin(α＋β)＝－，所以cos(α＋β)＝－. 因为α∈，所以sin α>0， 又cos α＝，所以sin α＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝－. 易错提醒　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． (3)根据条件合理的拆角，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 跟踪演练1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　因为tan 2α＝＝， 且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝. 方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝. (2)已知α，β均为锐角，且α＋β≠，若sin(2α＋β)＝sin β，则＝________. 答案　5 解析　∵sin(2α＋β)＝sin β， 则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， ∴2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]， 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝5tan α，故＝5. 考点二　正弦定理、余弦定理 核心提炼 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 例2　(1)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　) A. B．5 C．10 D. 答案　A 解析　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A， 即10＝5＋AB2－2×AB×，整理得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5或AB＝－1(舍去)，由cos A＝，可得sin A＝＝， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝×5××＝. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________. 答案　 解析　由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0， 得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A， 所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A， 又＝，所以＝＝－， 又a＝1，所以＝－，即tan A＝－， 因为0<A<π，所以A＝. 规律方法　(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时