专题2 第1讲 平面向量-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第1讲　平面向量 [考情分析]　1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度． 考点一　平面向量的线性运算 核心提炼 共线定理及推论 1．已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0. 2．若＝λ＋μ， 则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1. 例1　(1)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是BC上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是(　　) A.＝－＋ B.＝－＋ C.＝＋ D.＝－＋ 答案　D 解析　＝＋＋＝－＋， 又＝， ∴＝－＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝－＋＝－＋. (2)(2021·南通模拟)已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，则＋的最小值为________． 答案　4 解析　因为a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b， 所以2m＝1－n，即2m＋n＝1， 因为m，n均为正数， 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当m＝n＝时取得最小值． 规律方法　向量线性运算问题的求解方法 (1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解． (2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算． (3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化． 跟踪演练1　(1)在平行四边形ABCD中，与交于点O，E是线段OD的中点．若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　C 解析　如图所示，∵＝a，＝b， ∴＝＋＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－b＝a＋b. (2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________. 答案　3 解析　如图，设F为BC的中点， 则＝＝(＋)， 又＝，＝， ∴＝＋， 又G，D，E三点共线， ∴＋＝1，即＋＝3. 考点二　平面向量的数量积 核心提炼 1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝. 例2　(1)已知平面向量a＋b与a－b的模长之比为∶1，且夹角为90°，则a－b与a的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　B 解析　因为向量a＋b与a－b的夹角为90°， 所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0， 所以|a|＝|b|， 因为向量a＋b与a－b的模长之比为∶1， 所以(a＋b)2＝3(a－b)2， 所以a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)， 所以a·b＝＝， 所以(a－b)·a＝a2－a·b＝， |a－b|＝＝|a|， 所以cos〈a－b，a〉＝＝， 因为两个向量的夹角范围为[0，π]， 所以a－b与a的夹角为60°. (2)(2021·临沂模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的两个动点，||＝1，＝3－2，M为线段AB的中点，则·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵A，B是圆O：x2＋y2＝1上的两个动点， ∴||＝||＝1， 又∵||＝1，∴△ABO为等边三角形， ∵M是线段AB的中点，∴＝＋， ∴·＝·(3－2) ＝||2－||2＋·＝×12－12＋×1×1×cos ＝. 规律方法　求向量数量积的三种方法 (1)定义法． (2)利用向量的坐标运算． (3)利用数量积的几何意义． 跟踪演练2　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则·等于(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　B 解析　以A为坐标原点，可建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，E(1,1)，F，∴＝，＝(1,1)， ∴·＝＋＝2. (2)(2021·嘉兴模拟)已知平面向量a与b的夹角为120°，b在a上的投影为－1，且满足(2a＋b)⊥(a－3b)，则|a＋2b|＝________. 答案　 解析　因为平面向量a与b的夹角为120°，b在a上的投影为－1， 所以|b|cos 120°＝－|b|＝－1，所以|b|＝2， 因为(2a＋b)⊥(a－3b)，即(2a＋b)·(a－3b)＝0， 即2a2－5a·b－3b2＝0， 所以2|a|2＋5|a|－12＝0，解得|a|＝， 所以(a＋2b)2＝＋4××(－1)＋4×4＝， 所以