专题1 培优点5 极值点偏移问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有比值代换法． 例　(2021·启东模拟)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明x1＋x2>2. 证明　由f(x)＝aex－x＝0，得－a＝0， 令g(x)＝－a，则g′(x)＝， 由g′(x)＝>0，得x<1； 由g′(x)＝<0，得x>1. 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 由于x1，x2是方程g(x)＝0的实根，不妨设x1<1<x2， (比值代换法)设0<x1<1<x2， 由g(x1)＝g(x2)， 得， 取对数得ln x1－x1＝ln x2－x2. 令t＝>1，则x2＝tx1，代入上式得ln x1－x1＝ln t＋ln x1－tx1，得x1＝，x2＝. 所以x1＋x2＝>2⇔ln t－>0， 设g(t)＝ln t－(t>1)， 所以g′(t)＝－＝>0， 所以当t>1时，g(t)单调递增， 所以g(t)>g(1)＝0， 所以ln t－>0， 故x1＋x2>2. 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2<x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：x1x2<. 证明　f′(x)＝ln x＋1， 由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0<x<， ∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增． 可设0<x1<<x2. f(x1)＝f(x2)即x1ln x1＝x2ln x2， 令t＝>1，则x2＝tx1， 代入上式得x1ln x1＝tx1(ln t＋ln x1)，得ln x1＝. ∴x1x2<⇔ln x1＋ln x2<－2⇔2ln x1＋ln t<－2⇔＋ln t<－2⇔ln t－>0. 设g(t)＝ln t－(t>1)， 则g′(t)＝>0. ∴当t>1时，g(t)单调递增，g(t)>g(1)＝0， ∴ln t－>0.故x1x2<. 学科网（北京）股份有限公司 $