专题1 培优点2 导数中的函数构造问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

导数中的函数构造问题 导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，根据不等式的形式构造适当的函数是求解问题的关键． 例1　(1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，则f(x2)与f(x1)的大小关系为(　　) A． B． C． D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定 答案　A 解析　设g(x)＝， 则g′(x)＝＝. 由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增， 当x1<x2时，g(x1)<g(x2)，即， 所以 (2)(2021·安庆模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)ln x＋<0，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　∵[f(x)ln x]′＝f(x)＋f′(x)ln x<0， ∴g(x)＝f(x)ln x在(0，＋∞)上单调递减，而g(1)＝0， ∴在(0,1)上ln x<0，g(x)>0；在(1，＋∞)上ln x>0，g(x)<0，而f(1)<0， ∴在(0，＋∞)上f(x)<0，又函数f(x)为奇函数， ∴在(－∞，0)上f(x)>0. 不等式(x－1)f(x)<0等价于或 ∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 例2　(1)(2021·大连模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝，f(1)＝1，则f(x)的零点是________． 答案　 解析　令F(x)＝xf(x)－ln x， 则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)－， 又f(x)＋xf′(x)＝， 所以F′(x)＝f(x)＋xf′(x)－＝0， 则函数F(x)为常函数，又F(1)＝1×f(1)－ln 1＝1， 所以F(x)＝xf(x)－ln x＝1，即f(x)＝， 令f(x)＝0，所以x＝. (2)(2021·朝阳检测)若xex＝5，ln y－＝1，则xy＝________. 答案　5e 解析　由xex＝5，两边取以e为底的对数，得x＋ln x＝ln 5， 由ln y－＝1，令＝t，则y＝， 所以ln y－＝ln －t＝ln 5＋1－ln t－t＝1， 即ln 5－ln t－t＝0， 所以ln 5＝ln t＋t， 设f(x)＝x＋ln x，则f′(x)＝1＋>0， 所以f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增， 由x＋ln x＝ln 5以及ln 5＝ln t＋t，则x＝t， 由y＝，即y＝，则xy＝5e. (1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式． (3)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式． 1．(2021·淄博模拟)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是(　　) A．ln 2> B．ln 3< C．ln π> D.< 答案　B 解析　令f(x)＝ln x－，则f′(x)＝－，当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f(e)＝ln e－＝0， 则f(2)＝ln 2－<0，得ln 2<，故A错； f(3)＝ln 3－<0，得ln 3<，故B正确． C，D不正确． 2．已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)－2f(x)>0，f(－3)＝1，则不等式<x的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,3) C．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　构造函数g(x)＝ ， g′(x)＝x·＝ ， 当x>0 时，xf′(x)－2f(x)>0，故g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞) 上单调递增， 又f(x)为偶函数，y＝ 为偶函数， 所以g(x)＝为偶函数，在(－∞，0) 上单调递减． f(－3)＝1，则f(3)＝1，g(－3)＝g(3)＝＝； <x， 当x>0 时，即<，g(x)<＝g(3)，所以x∈(0,3)； 当x<0 时，即>，g(x)>＝g(－3)，所以x∈(－∞，－3)． 综上所述，x∈(－∞，－3)∪(0,3)． 3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若f(x)＝f(－x)－2sin x，且当x≥0时，f′(x)＋cos x>0，则不等式f >f(x)＋sin x－cos x的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令g(x)＝f(x)＋sin x， 则