专题1 培优点1 函数的公切线问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

函数的公切线问题 导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养． 例　(1)若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．3或－1 答案　D 解析　设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝＝1，解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和 g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1， 化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. (2)已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案　B 解析　已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)， 即y＝， 曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x－1＋ln x2， 由题意得得x2＝， ＝－1＋ln x2＝－1＋＝－1－x1，则＝.又x2＝，所以x2＝，所以x2－1＝－1＝，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2. (3)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________． 答案　 解析　设公切线在y＝x2上的切点为(x1，x)，在y＝aex(a>0)上的切点为(x2，)． 函数y＝x2，y＝aex(a>0)的导数分别为y′＝2x，y′＝aex， 则公切线的斜率为2x1＝，整理得a＝. 由a>0可知，x2>1， 令f(x)＝，x∈(1，＋∞)，则f′(x)＝＝， f′(x)>0⇒1<x<2；f′(x)<0⇒x>2， ∴f(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减， f(x)max＝f(2)＝；当x→＋∞时，f(x)→0，即0<f(x)≤， ∴a∈. 解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解． 1．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝的图象相切，则实数a等于(　　) A. B. C. D．e 答案　B 解析　由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2， 又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 设y＝2x－1与函数g(x)＝的图象相切于点(x0，y0)， 由g′(x)＝，可得 解得x0＝，a＝＝. 2．(2021·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 答案　C 解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0， 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同， 所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)， 又g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. 3．(2021·龙岩模拟)若直线y＝kx＋b是曲线y＝的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于(　　) A．－ B. C. D. 答案　D 解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝相切于点P(x1，y1)，y′＝＝ex－2，k1＝； 直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1相切于点Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝， ∴l1：y＝，l2：y＝， ∴x2＝－ln 2， ∴k＋b＝＝＋－1－(－ln 2)×＝. 4．曲线C1：y＝ln x＋x与曲线C2：y＝x2有________条公切线． 答案　1 解析　由y＝ln x＋x得y′＝＋1， 设点(x1，ln x1＋x1)是曲线C1上任一点， ∴曲线C1在点(x1，ln x1＋x1)处的切线方程为 y－(ln x1＋x1)＝(x－x1)， 即y＝x＋ln x1－1. 同理可得曲线C2在点(x2，x)处的切线方程为 y－x＝2x2(x－x2)， 即y＝2x2x－x. 依题意知两切线重合， ∴消去x2得＋＋4ln x1－3＝0，① 令f(x)＝＋