专题1 第6讲 母题突破3 零点问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

母题突破3　零点问题 母题　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 2思路分析一 ❶fx有两个零点 ↓ ❷fx的图象与x轴有两个交点 ↓ ❸求导函数f′x，确定函数fx的性质 思路分析二 ❶fx有两个零点 ↓ ❷方程＝有两个不相等的实数根 ↓ ❸函数y＝的图象与函数φx＝的图象有两个交点 ↓ ❹求导确定φx＝的性质 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)方法一　f′(x)＝ex－a. ①当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故f(x)至多存在一个零点，不符合题意． ②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)． (ⅰ)若0<a≤，则f(ln a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不符合题意． (ⅱ)若a>，f(ln a)<0. 因为f(－2)＝e－2>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点． 由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0， 所以当x>4且x>2ln 2a时，f(x)＝－a(x＋2)>eln 2a·－a(x＋2)＝2a>0. 故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点． 从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点． 综上，a的取值范围是. 方法二　令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即＝， 所以函数y＝的图象与函数φ(x)＝的图象有两个交点， φ′(x)＝，当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0， 所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0， 所以0<<e，解得a>. 所以a的取值范围是. [子题1]　(2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解　f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔＝，设函数g(x)＝， 则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e， 在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增； 在(e，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max＝g(e)＝， 又g(1)＝0，当x→＋∞时，g(x)→0， ∴曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝有两个交点的充要条件是0<<，即是0<g(a)<g(e)， ∴a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞)． [子题2]　(2021·北京东城区质检)已知函数f(x)＝x3－x.设函数t(x)＝－2，x∈(0，π)，试判断t(x)的零点个数，并证明你的结论． 解　t(x)＝0，x∈(0，π)，即－2＝0， 等价于x2－1－2sin x＝0. 设g(x)＝x2－1－2sin x，x∈(0，π)， 则g′(x)＝2x－2cos x. ①当x∈时，g′(x)>0，g(x)在区间上单调递增． 又g＝－3<0，g(π)＝π2－1>0， 所以g(x)在区间上有一个零点． ②当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cos x. h′(x)＝2＋2sin x>0， 所以g′(x)在区间上单调递增. 又g′(0)＝－2<0，g′＝π>0， 所以存在x0∈，使得g′(x0)＝0. 所以当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增. 又g(0)＝－1<0，g＝－3<0， 所以g(x)在区间上无零点． 综上所述，函数t(x)在定义域内只有一个零点． 规律方法　(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点；②依据零点确定极值的范围；③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．(2021·安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)． (1)当a