专题1 第6讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

母题突破2　恒成立问题与有解问题 母题　已知函数f(x)＝axln x，当x≥1时，f(x)≤x3恒成立，求实数a的最大值． 思路分析一 ❶x≥1，fx≤x3 ↓ ❷aln x－x2≤0 ↓ ❸(aln x－x2)max≤0 ↓ ❹求φx＝aln x－x2x≥1的最大值 思路分析二 ❶x≥1，fx≤x3 ↓ ❷分离参数得a≤ ↓ ❸a≤ ↓ ❹求gx＝x>1的最小值 解　方法一　当x≥1时，axln x≤x3恒成立， 即aln x－x2≤0恒成立， 令φ(x)＝aln x－x2(x≥1)， φ′(x)＝(x≥1)， 当a≤2时，a－2x2≤0， ∴φ′(x)≤0， ∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝－1≤0恒成立， ∴a≤2. 当a>2时，若x∈，φ′(x)>0， x∈，φ′(x)<0， ∴φ(x)在上单调递增，在上单调递减， ∴φ(x)max＝φ＝aln －≤0⇒a≤2e， ∴2<a≤2e， 综上有a≤2e， ∴a的最大值为2e. 方法二　依题意，当x≥1时，axln x－x3≤0恒成立，当x＝1时，－1≤0，不等式恒成立，故a∈R； 当x>1时，ln x>0，∴a≤. 设函数g(x)＝，且x>1. 则g′(x)＝＝， 当x∈(1，)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数； 当x∈(，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)为增函数， ∴g(x)min＝g()＝2e，即a≤2e. 综上，a≤2e， ∴实数a的最大值是2e. [子题1]　(2021·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0. (2)方法一　f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0， 则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立． ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立． ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0；在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意． 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． 方法二　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立． 即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 当x>2时， x2－x>0， 所以a≤＝恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． [子题2]　已知函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋3aln x，g(x)＝x2－(a＋4)x－＋4aln x．当a>0时，若在[1，e](e＝2.718…)上存在x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求实数a的取值范围． 解　令F(x)＝f(x)－g(x)＝x＋－aln x， 在[1，e]上存在x0，使得f(x0)<g(x0)成立， 即在[1，e]上存在x0，使得F(x0)<0， 即函数F(x)＝x＋－aln x在[1，e]上的最小值小于零． 由F(x)＝x＋－aln x得，F′(x)＝1－－＝， ∵a>0，∴a＋1>1，又x∈(0，＋∞)，∴x＋1>0， ∴当x∈(0，a＋1)时，F′(x)<0； 当x∈(a＋1，＋∞)时，F′(x)>0， ①当1<a＋1<e，即0<a<e－1时，F(x)在[1，a＋1)上单调递减，在[a＋1，e]上单调递增， ∴F(x)min＝F(a＋1)＝a＋2－aln(a＋1)， ∵0<ln(a＋1)<1， ∴0<aln(a＋1)<a， ∴a＋2－aln(a＋1)>2，此时F(a＋1)<0不成立． ②当a＋1≥e，即a≥e－1时，F(x)在[1，e]上单调递减，∴F(x)min＝F(e)， 由F(e)＝e＋－a<0可得，a>， ∵>e－1， ∴a>， 综上所述，实数a的取值范围为. 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(