专题1 第6讲 母题突破1 导数与不等式的证明-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第6讲　导数的综合应用 [考情分析]　1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥时，f(x)≥0. (2)思路分析 ❶a≥，aex－ln x－1≥0 　　　 ↓ ❷－ln x－1≥0 　　 　↓ ❸min≥0 　　　 ↓ ❹求g(x)＝－ln x－1的最小值 (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－. 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝. 从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)． (2)证明　方法一　当a≥时，f(x)≥－ln x－1. 设g(x)＝－ln x－1(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝－. 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点． 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. 因此，当a≥时，f(x)≥0. 方法二　易证ex≥x＋1， ln x≤x－1， ∴f(x)≥－ln x－1＝ex－1－ln x－1≥x－ln x－1≥0， 即证f(x)≥0. [子题1]　证明：当x∈(0,1)时，ex－1·ln x<x2－x. 证明　要证ex－1·ln x<x2－x＝x(x－1)， 只需证<. 方法一　只需证<， 令f(x)＝(x<0)， ∴f′(x)＝>0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ln x<0，x－1<0， 且易证ln x<x－1， ∴f(ln x)<f(x－1)， 即有<， 即证原不等式成立． 方法二　只需证<， 令φ(x)＝，x∈(0,1)， φ′(x)＝>0， ∴φ(x)在(0,1)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ex－1∈(0,1)，且易证ex－1>x， ∴φ(ex－1)>φ(x)，即>， 即证原不等式成立． [子题2]　已知函数f(x)＝－ax.若1<a<2，求证：f(x)<－1. 证明　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 要证f(x)<－1，即－ax<－1， 只需证明ln x－1－ax2<－x，即ln x<ax2－x＋1， 令m(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则m′(x)＝－1， 令m′(x)>0，得0<x<1；令m′(x)<0，得x>1， 所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以m(x)max＝m(1)＝0， 即ln x－x＋1≤0，则ln x≤x－1. 令n(x)＝ax2－2x＋2， 因为1<a<2，所以Δ＝4－8a<0， 所以n(x)>0恒成立，即ax2－2x＋2>0， 所以ax2－x＋1>x－1. 综上所述，ln x<ax2－x＋1， 即当1<a<2时，f(x)<－1. 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．已知f(x)＝ax2＋(a－1)ln x＋a. (1)若f(x)有极大值或极小值，求a的取值范围； (2)若a>0，求证：x>1时，f(x)>1＋(2a－1)x. (1)解　因为f(x)＝ax2＋(a－1)ln x＋a， 所以f′(x)＝ax＋＝(x>0)， 当a≥1时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)没有极值； 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(x)没有极值． 当0<a<1时，x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数， x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 所以f(x)有极小值． 综上得a的取值范围是(0,1)． (2)证明　当x>1时，要证f(x)>1＋(2a－1)x， 即证ax2－(2a－1)x＋(a－1)ln x＋a－1>0， 设g(x)＝ax2－(2a－1)x＋(a－1)ln x＋a－1， 则g(1)＝0， 且g′(x)＝ax－(2a－1)＋ ＝＝， 因为a>0，x>1， 所以x－1>0，ax＋1－a>a＋1－a＝1>0， 所以g′(x)>0