专题1 第5讲 函数的极值、最值-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第5讲　函数的极值、最值 [考情分析]　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一　利用导数研究函数的极值 核心提炼 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点． 例1　(2021·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0. (1)解　f′(x)＝＝， 当a＝0时，f′(1)＝，f(1)＝， 则f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝x. (2)证明　由(1)知，令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－a， ①当a＝－2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减， ∴函数f(x)无极值； ②当a>－2时，令f′(x)>0，解得－a<x<2，令f′(x)<0，解得x<－a或x>2， ∴函数f(x)在(－a,2)上单调递增，在(－∞，－a)，(2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(2)＝>0； ③当a<－2时，令f′(x)>0，解得2<x<－a，令f′(x)<0，解得x<2或x>－a， ∴函数f(x)在(2，－a)上单调递增，在(－∞，2)，(－a，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(－a)＝>0， 综上，函数f(x)的极大值恒大于0. 易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 跟踪演练1　(1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 答案　D 解析　方法一　当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误． 图1　　　　　　　　图2 方法二　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a. 图3 当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b. 图4 综上，可知必有ab>a2成立． (2)(2021·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2＋2ax有两个极值点，则a的取值范围是(　　) A．(e，＋∞) B. C．(e2，＋∞) D. 答案　D 解析　因为f(x)＝ex－ax2＋2ax有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不同实数根，所以ex－2ax＋2a＝0有两个不同实数根， 所以ex＝2a(x－1)有两个不同实数根，显然a≠0， 所以＝有两个不同实数根， 记g(x)＝，g′(x)＝， 当x∈(－∞，2)时，g′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(2)＝， 又因为当x∈(－∞，1]时，g(x)≤0；当x∈(1,2)时，g(x)∈；当x∈[2，＋∞)时，g(x)∈， 所以当＝有两个不同实数根时，∈， 所以2a>e2，所以a>. 考点二　利用导数研究函数的最值 核心提炼 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 例2　(1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为(　　) A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．以上都不对 答案　C 解析　函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调