专题1 第3讲 不等式-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第3讲　不等式 [考情分析]　1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.目标函数的最值常和代数式的几何意义(如斜率、截距、距离)结合考查.3.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.4.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度． 考点一　不等式的性质与解法 核心提炼 判断关于不等式命题真假的常用方法 (1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负． (2)利用不等式的性质推理判断． (3)利用函数的单调性． (4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题． 例1　(1)已知a，b，c满足a>b>c，且ac>0，则下列选项中一定能成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ab(a－c)>0 D．cb2>ca2 答案　C 解析　取a＝－1，b＝－2，c＝－3， 则ab＝2<ac＝3，cb2＝－12<ca2＝－3，排除A，D； 取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1<0，排除B； 因为a>b>c，且ac>0，所以a，b，c同号，且a>c， 所以ab(a－c)>0. (2)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3) 答案　A 解析　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0， 则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0， 即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)． 易错提醒　求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a的符号． 跟踪演练1　(1)(2021·淮南模拟)设<a<1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(1－a)，p＝loga，则m，n，p的大小关系是(　　) A．n>m>p B．m>p>n C．p>n>m D．n>p>m 答案　D 解析　因为<a<1, 所以a2＋1－＝>0， －(1－a)＝＝>0， y＝logax为减函数， 所以m<p, p<n. 可得n>p>m. (2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪{2} 答案　B 解析　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2， 当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有解得－2<a<. 综上，实数a的取值范围是. 考点二　线性规划 核心提炼 1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋(b≠0)，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． 2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2. 3．斜率型：形如z＝(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM. 例2　(1)(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　) A．18 B．10 C．6 D．4 答案　C 解析　方法一　(数形结合法)作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小． 解方程组得即点A的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6. 方法二　(代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可． 易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6. 方法三　(巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.① 因为y≤3，所以－2y≥－6.② 于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6， 当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立． (2)若实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是(　　) A．(－∞，－4]∪[2