专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程-（配套word）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第2讲　基本初等函数、函数与方程 [考情分析]　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现． 考点一　基本初等函数的图象与性质 核心提炼 1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两个函数图象的异同． 2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况． 例1　(1)(2021·茂名水东中学模拟)函数f(x)＝ax与函数g(x)＝loga在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　D 解析　g(x)＝loga＝－logax，则函数f(x)与函数g(x)单调性相反，排除选项B，C； 再由g(1)＝0可排除选项A. (2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 答案　A 解析　设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增． 原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)， 所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确； 因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确． 规律方法　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 跟踪演练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. (2)(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1)，若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,3) C．(0,1)∪(3，＋∞) D．(0,1)∪(1,3) 答案　D 解析　y＝logax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝loga(－x)，函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y＝loga(－x)与y＝|x＋2|，－3≤x≤0的图象有且仅有一个交点．当0<a<1时，显然符合题意(图略)；当a>1时，只需loga3>1，∴1<a<3，综上所述，a的取值范围是(0,1)∪(1,3)． 考点二　函数的零点 核心提炼 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在性定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1　函数零点的判断 例2　(2021·沧州联考)已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数f(x)的图象．函数y＝log5|x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝log5|x|>1，此时两函数图象无交点，如图， 又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知它们在x<0上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数为8. 考向2　求参数的值或范围 例3　(2021·沈阳模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是(　　) A．1<k<3 B．1≤k<3 C．0<k<3 D．k<3 答案　B 解析　已知f(x)＝作出函数图象， 通过函数图象可以看出，当x<0时，函数图象无限趋近于1，但不等于1，当x>2时，函数图象无限趋近于0，但不等于0，所以方程f(x)＝k有且仅有两个不等实根，可以得到1≤k<3. 规律方法　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 跟踪演练2　(1)(2021·北京顺义区模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 答