武汉大学2022年强基校测数学试题

2022年武汉大学强基计划测试数学试题 1.设1，，…，xn（%≥2)皆为正数，且满足 1 1 1 1 x1+2022+ x2+2022 +…十 xn十2022= 2022 证明 V2…n≥2022 n-1 2.设F为椭圆C:写+ 4=1的左焦点，P为椭圆C上一点 (1)作正方形FPAB(F,P,A,B按逆时针排列)，当P沿椭圆运动一周，求动点B的轨 迹方程 (2)设Q(3,2)为椭圆外一点，求PQ1+1PF的取值范围 ●Q B 0 3.己知函数f(x)=2a3+3ax2+6(3-a)x+2022a,若f(x)在区间[-2,2]上的单调增函 数，求实数a的取值范围 4.连续随机掷一颗骰子，一直掷到6点出现3次为止，用X表示停止时已经掷的次数 (1)求X的分布列P(X=),k=3,4,… (2)令Y=min(max(X,4),5),求数学期望E(Y) 2022年武汉大学强基计划校测数学试题答案 1.设，x2,…,正n(≥2)皆为正数，且满足 1 1 1 +2022+ 32+2022 十…十 x,+2022- 2022 证明： V2…z≥2022 2-1 证明：由题意可知 2022 2022 2022 +2022+2十2022+…+ xm十2022 =1 令 2022+五=4.→=202(2-) 2022 an 此时等价于 a+a2+…+an=1 即证 2022(（g-(a-…(日- ≥2022 2-1 等价于证 1-a)1-a）…1-a≥(m-1)" a1a2·亿 由均值不等式可知 1-a1=2+a,+…+an≥(n-1)”V2ag…a 1-a=a1十ag+…+an≥(n-1)"/@ag…a 1-an=a4十a2+…+an-1≥(n-1)”V/a2…an- 则 1-a-2)…-a2≥n-1"aa…a=(n-1）” aa2an aa2…at 证毕！ 2 设F为椭圆C: 卫+少1的左焦点，P为椭园c上一点. 94 (1)作正方形FPAB(F,P,A,B按逆时针排列)，当P沿椭圆运动一周，求动点B的轨迹方程；， (2)设Q(3,2)为椭圆外-一点，求PQ+PF的取值范围. F2 首先来解决第二问：见上左图 显然当F、P、Q三点共线时，|PQ+PF取最小值FQ, 且FQ=(3+V5)2+22=V18+6V5=V5+V5: 设椭圆的右焦点为F',结合椭圆的定义知：PF+PF=6