专题03 等式与不等式-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题03 等式与不等式-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 基本不等式的应用 【母题来源】2022年新高考全国II卷 【母题题文】若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【试题解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC． 【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有： （1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件 【得分要点】 （1） 对原不等式进行化简、变形； （2） 符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解； （3） 判断等号成立的条件； （4）利用“1”的合理变换是解题. 考向二 线性规划 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科） 【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数为， 上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大， 所以.故选：C. 【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力． 常见的命题角度有： （1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值； 【得分要点】 1.正确画出可行域； 2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。 一、单选题 1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断. 【详解】 当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确. 故选：D. 2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（       ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】 圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x，y满足，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】 根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值. 【详解】 根据约束条件，画出可行域（如图），可看成可行域内的点与定点的距离，由图可知：当过点的直线与垂直时，距离最小，此时最小距离为：.故选：B 4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件. 【详解】 由题设，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m，n满足，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 化简，再利用基本不等式得解. 【详解】 解：由题得. （当且仅当等号成立）. 故选：B 6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 讨论和两种情况，即可求解. 【详解】 当时，不等式成立；当时，不等式恒成立， 等价于． 综上，实数的取值范围为． 故选：B． 7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用偶函数的性质得到在上单调递增， .把原不等式转化为或即可解得. 【详解】 因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以. 由，得或所以或 解得或.故x的取值范围是. 故选：D. 8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求解已知不等式，从集合的