必刷题2 平面向量的运算-2022新教材高一数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

|第一部分收官之作·完胜上一学期 必刷题二平面向量的运算 ◎好题刷给你做好书翻给你看、 刷基础题]突破疑难 知识点1向量的加减法及其几何意义利用数量积求解长度问题、夹角、垂直问 题是数量积的重要应用 1.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于要掌握此类问题的处理方法： 1.(1)a·b=|a|^2或|a|=\sqrt{a}·a． （2）|a±b|=(a±b)^Σ D<=\sqrt{a}^2+b^2±2a·b。 a·l A.BD B.DB 2.向量夹角公式cos(a，b〉一a|b的计 C.BC D.CB 算中涉及了向量运算和数量运算，计算 2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则时要区别进行的是向量运算还是数量 运算。从而保证计算结果准确无误． D━_F3.当两向量垂直时， 利用a·b=0列方程(组)可求未知数。 \sqrt{剖}析典题 A.AD+BE+CF=0B.BD-CF+DF=0 C.AD+CE-CF=0D.BD-BE-FC=0 【例1】在平行四边形ABCD中，M，N 知识点2共线向量定理及其应用 分别是DC，BC的中点，已知AM=c， AN=d，试用c.d表示AB和AD． 3.在△ABC中，若点D满足BD=2DC，则AD等于）D—M_—C A.÷AC+÷^2AB B.÷AB-号2AC AaⅳB D÷AC+3 Au 【解】如图，设AB=a，AD=b。 4.(1)3(6a+b)-9(a+÷b)-—﹔∵M，N分别是DC，BC的中点， (2)若2(y-_3^a)-﹖(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量， ∴BN=÷_b，DM=÷a。 则未知向量y=_____． ∵在△ADM和△ABN中， 知识点3平面向量的数量积 (AD+DM=AM， 5.若|a|=3，b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b=）〔AB+BN=AN， A.-3\sqrt{2}B.-6\sqrt{2}b+2^a=c，① C.6\sqrt{2}D.2 6.已知向量|a|=10，b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为 a+÷^b=d．② （）①×2-②，得b=5(2e-d)，②×2- A.60°B.120° ①，得a=÷(2d-e)． C.135°D.150° 知识点4平面向量的数量积的应用 7.P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB=PB·PC=PC·PA，则【例2】设向量a，b满足|a|=_b|=1， P是△ABC的（）⋮|3a-b|=\sqrt{5}. A.外心B.内心（1)求|a+3b|的值； C.重心D.垂心（2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值。 ·3· 假日必刷题·数学 8.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a十b=|a-b|,则下面结论 【解】(1)由3a-b1=5,得(3a-b)2 错误的是 =5, A.a∥b B.a⊥b 所以9a2-6a·b+b2=5. C.lal=b D.a+b=a-b 因为a2=a2=1,b2=1b21=1, 刷綜合题 所以9-6a·b+1=5.所以a·b=5 Γ61 ,.如图所示，已知在△ABC中，Ai=号Ai,DE/BC,DE交AC于点 所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+ 6×8+9×1=15. E,BC边上的中线AM交DE于点N,设AB=a,AC=b,用a,b表示 向量AE,DE,AM,AV. 所以a+3b=15. (2)设3a-b与a+3b的夹角为0. 因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b -3b2 =3X1+8×号-3X1=2 所以c0s0= (3a-b)·(a+3b)= 3a-ba+3b 20 43 √5×√15 91 因为0°≤0≤180°， 所以sin0=√1-cos20 =33 9 所以3a一b与a十3b夹角的正弦值 为愿 。高分秘籍 由两个向量夹角的定义知，两个非零向量 10.已知向量AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b), a与b的夹角0的取值范围是[0，π]，它包 (1)求证：A、B、D三点共线： 括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情 况.特别地，当向量a与b同向时，0=0： (2)求证：CA=xCB+yCD(其中x+y=1). 当向量a与b垂直时，0=交；当向量a与 b反向时，0=π.在具体解题时，要根据题 意排除不符合的情况. 。速记口诀 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,a,b,代人公式cos0 =8求解， a·b (2)用同一个量表示a·b,a|,|b代 入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义，数形结 合求夹角。 2.要注意夹角0的范围0∈[0，π]，当cos 0>0时，0∈[0，)：当cos0<0时，0 制高考题 (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知向量a十b+c=0,|