假期作业(十二) 导数的概念及运算-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

　高二暑假􀅰数学 １０．证明　(１)由２an－an－１＝an􀅰an－１,有 ２ an－１ －１an ＝ １,所以１an －１＝２(１an－１ －１)． 所以数列 １ an －１{ }是首项为１a１－１＝３,公比为２的等 比数列． 所以１ an －１＝３􀅰２n－１,所以an＝ １ ３×２n－１＋１ ． (２)an＝ １ ３×２n－１＋１ , 所 以 Tn ＝ １ ３＋１ ＋ １ ３×２＋１ ＋ １ ３×２２＋１ ＋ 􀆺 ＋ １ ３×２n－１＋１ ＜１３＋ １ ３×２＋ １ ３×２２ ＋􀆺＋ １ ３×２n－１ ＝１３ １＋ ( １ ２ ) １ ＋ ( １２ ) ２ ＋􀆺＋ １ ２n－１[ ] ＝１３ 􀅰 １－１ ２n １－１２ ＝２３ (１－ １ ２n ) ＜ ２ ３． 假期作业(十二) 知识梳理 １．(１)ΔyΔx　 Δy Δx　limΔx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx (２)lim Δx→０ f(x＋Δx)－f(x) Δx ２．lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ３．(２)αxα－１　(３)cosx　(４)－sinx　(５)axlna　ex　 (６) １xlna　 １ x ４．(３)f′ (x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x)]２ 习题精练 １．B　[对选项 A,(sinx)′＝cosx,故 A错误．对选项B, ( x３)′＝ x ３ ２( )′＝３２x １ ２ ＝３２ x ,故 B正确．对选项 C,(x２sinx)′＝２xsinx＋x２cosx,故C错误． 对选项 D,[ln(５x)]′＝１５x 􀅰(５x)′＝１x ,故 D错误．] ２．C　[当x＝π时,y＝２sinπ＋cosπ＝－１,即点(π,－１) 在曲线y＝２sinx＋cosx上．∵y′＝２cosx－sinx, ∴y′|x＝π＝２cosπ－sinπ＝－２,则y＝２sinx＋cosx 在点(π,－１)处的切线方程为y－(－１)＝－２(x－ π),即２x＋y－２π＋１＝０．] ３．B　 [∵s′＝ １５t －４５ ．∴ 当t＝４ 时,s′＝ １５ 􀅰 １５ ４４ ＝ １ １０ ５ ２３ ．] ４．B　[由题意得:f′(x)＝２f′(１)＋１x ,令x＝１得:f′(１) ＝２f′(１)＋１,解得f′(１)＝－１, ∴f′(x)＝－２＋１x , ∴f′ １e æ è ç ö ø ÷＝e－２．] ５．D　[因为y′＝aex＋lnx＋１,所以y′|x＝１＝ae＋１,所 以切线方程为y－ae＝(ae＋１)(x－１),即y＝(ae＋１) x－１,与切线方程y＝２x＋b对照,可得 ae＋１＝２, b＝－１,{ 解 得 a＝e－１, b＝－１．{ ] ６．A　 [依 题 意 得 y′＝e－２x 􀅰 (－２)＝ －２e－２x,y′|x＝０ ＝ －２e－２×０＝－２． 曲线y＝e－２x＋１在点(０,２)处 的切线方程是y－２＝－２x,即y＝－２x＋２．在坐标系 中作出直线y＝－２x＋２、y＝０与y＝x的图象,因为 直线y＝－２x＋２与y＝x的交点坐标是 ２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷,直 线y＝－２x＋２与x轴的交点坐标是(１,０),结合图象 可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于１ ２×１ ×２３＝ １ ３． ] ７．１　[由f(x)＝ e x x＋a 得f′(x)＝e x(x＋a)－ex (x＋a)２ ,又 f′(１)＝e４ ,所以e(１＋a)－e (１＋a)２ ＝e４ ,整理得(a－１)２＝０, 所以a＝１．] ８．(e,e)　[设P(x０,y０)．∵y＝xlnx, ∴y′＝lnx＋x􀅰１x＝１＋lnx．∴k＝１＋lnx０． 又k＝２, ∴１＋lnx０＝２,∴x０＝e．∴y０＝elne＝e． ∴点P 的坐标是(e,e)．] ９．解　(１)y′＝２xsinx＋x２cosx． (２)y′＝１x－ １ x２ ． (３)f′(x)＝ (２x＋cosx)x－(x２＋sinx) x２ ＝x ２＋xcosx－sinx x２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —６６— 假期作业　 (４)因为y＝x２cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷, 所以y′＝２xcos２x－π３ æ è ç ö ø ÷＋x２ cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷[ ]′ ＝２xcos２x