假期作业(三) 用空间向量研究距离、夹角问题-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

假期作业　 习题精练 １．D　[由题意可知PA→＝(１,２,－４)．设点P 到平面α的 距离为h,则h＝|PA →􀅰n| |n| ＝ |－２－４－４| ４＋４＋１ ＝１０３． ] ２．B　[据条件知BA→＝(０,２,－３),BC→＝(－２,４,－２)． ∴BA→在 向 量BC→方 向 上 的 投 影 为|BA →􀅰BC→| |BC→| ＝ １４ ２ ６ ＝７ ６６ , ∴点A 到直线BC 的距离为 |BA→|２－ ７ ６ ６ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２９６ ＝ １７４６ ． ] ３．B　[∵n１＝(４,３,０),n２＝(０,－３,４), ∴|n１|＝ ４２＋３２＋０２＝５, |n２|＝ ０２＋(－３)２＋４２＝５, n１􀅰n２＝４×０＋３×(－３)＋０×４＝－９． 因此,向量n１ 与n２ 的夹角θ满足 cosθ＝ n１􀅰n２ |n１||n２| ＝ －９５×５＝－ ９ ２５ , 又∵向量n１、n２ 分别为平面α和平面β的法向量, 则可知两个平面法向量之间的夹角为钝角,则平面α 与平面β的夹角与其互补,故平面α与β 夹角的余弦 值等于９ ２５． ] ４．B　[∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (２,１,１),∴OA→＝(２,１,１), 且两平面的一个法向量n＝(－１,０,１), ∴ 两 平 面 间 的 距 离 d＝|n 􀅰OA→| |n| ＝ |－２＋０＋１| ２ ＝ ２２． ] ５．C　[以D 为坐标原点,分别以DA→,DC→,DD１→的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D􀆼xyz, 如图 设AD＝１,则E(１,０,１),F(０,１,２),G(０,０,１),B(１,２, ０),所以EF→＝(－１,１,１),BG→＝(－１,－２,１), EF→􀅰BG→＝０,所以EF→⊥BG→,所以异面直线EF 与BG 所成角的大小为９０°．] ６．C　[如图所示,建立空间直角 坐标系BＧxyz,由于AB＝BC＝ AA１,不妨取AB＝２,则B(０, ０,０),E(０,１,０),F(０,０,１), C１(２,０,２), ∴EF→＝(０,－１,１), BC１ →＝(２,０,２), ∴cos‹EF→,BC１ →›＝ EF→􀅰BC１ → |EF→||BC１ →| ＝ ２ ２× ８ ＝１２ , ∴异面直线EF和BC１ 的夹角为 π ３． ] ７．３３　 [由A(１,２,－１),B(１,１,１),C(０,１,２), 则OA→＝(１,２,－１),BC→＝(－１,０,１), 则向量OA→ 与BC→所成角的余弦值为 OA→􀅰BC→ |OA→||BC→| ＝ －２ ６× ２ ＝－ ３３ , 则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为 ３３． ] ８．３２　 [易知E １,１２ ,５ ２ æ è ç ö ø ÷,F ０,１,３２ æ è ç ö ø ÷,故 |EF→|＝ (－１)２＋ １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋(－１)２＝３２． ] ９．解　(１)以A 为坐标原点,分别 以AD,AB,AS 所 在 直 线 为x 轴,y轴,z轴,建立如图所示的 空间直角坐标系,S(０,０,２),C (２,２,０),D(１,０,０),SC→＝(２,２, －２),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD 的一个法向量 为AB→＝(０,２,０),设SC与平面ASD 所成的角为θ,则 sinθ＝|cos‹SC→,AB→›|＝ |SC→􀅰AB→| |SC→||AB→| ＝ ３３ , 故cosθ＝ ６３ ,即 SC 与 平 面ASD 所 成 角 的 余 弦 值 为 ６ ３． (２)平面SAB的一个法向量为m＝(１,０,０), ∵SC→＝(２,２,－２),SD→＝(１,０,－２),设平面SCD 的一 个 法 向 量 为 n ＝ (x,y,z),由 SC→􀅰n＝０, SD→􀅰n＝０{ ⇒ x＋y－z＝０, x－２z＝０,{ 令z＝１,可得平面SCD 的一个法向量 为n＝(２,－１,１),设平面SAB 和平面SCD 的夹角为 α,则cosα＝|m 􀅰n| |m||n|＝ ６ ３ ,即平面SAB和平面SCD 夹 角的余弦值为 ６ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —７５— 　高二暑假􀅰数学 １０．(１)证明　∵PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD, ∴PA⊥BC,∵∠ACB