假期作业(七) 双曲线-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

假期作业　 １０．解　(１)由已知e＝ca ＝ ２ ２ ,即c２＝１２a ２,b２＝a２－c２ ＝１２a ２, 将P(－ ２,１)代入椭圆方程,得２ a２ ＋１ b２ ＝１, ∴a＝２,b＝ ２．∴a２＝４,∴b２＝２, ∴ 椭圆C的方程为x ２ ４＋ y２ ２＝１． (２)椭圆C上存在点B,A 关于直线y＝kx＋１对称, 设A(x１,y１),B(x２,y２),y１≠y２,AB 的中点(x０, y０), 易知直线y＝kx＋１且k≠０,恒过点(０,１),则x２１＋ (y１－１)２＝x２２＋(y２－１)２, 点A,B在椭圆上,∴x２１＝４－２y２１,x２２＝４－２y２２, ∴４－２y２１＋(y１－１)２＝４－２y２２＋(y２－１)２．化简得 y２１－y２２＝－２(y１－y２),即y１＋y２＝－２, ∴y０＝ y１＋y２ ２ ＝－１． 又AB的中点在y＝kx＋１上, ∴y０＝kx０＋１,x０＝－ ２ k． 由 x２＋２y２＝４, y＝－１,{ 可得x＝± ２, ∴０＜－ ２k＜ ２ ,或－ ２＜－ ２k＜０ , 即k＜－ ２或k＞ ２． 则k的取值范围是(－∞,－ ２)∪(２,＋∞)． 假期作业(七) 知识梳理 １．距离的差的绝对值 　 双曲线的焦点 　 双曲线的焦 距　 (１)２a＜|F１F２|　(２)２a＝|F１F２|　 (３)２a＞|F１F２| ２．x≥a或x≤－a,y∈R　y≤－a或y≥a,x∈R　坐标 轴　原点 　y＝±bax　y＝± a bx　 (１,＋ ∞)　 a２＋b２　２a　２b　c２＝a２＋b２ 习题精练 １．D　[由题意知,轨迹应为以A(－５,０),B(５,０)为焦点 的双曲线的右支．由c＝５,a＝３,知b２＝１６, ∴M 点的轨迹方程为x ２ ９－ y２ １６＝１ (x≥３)．] ２．D　 [因 为 双 曲 线x ２ ４ － y２ m ＝１ 的 离 心 率 为 ２,所 以 ４＋m ２ ＝２ ,解得m＝１２, 则双曲线x ２ m－y ２＝１的焦距２ m＋１＝２ １２＋１＝ ２ １３．] ３．A　[双曲线x２－４my２＝４化为x ２ ４－my ２＝１,∴a２＝ ４,b２＝１m ,∵实轴长是虚轴长的２倍,∴２a＝２×２b,化 为a２＝４b２,∴４＝４m ,解得m＝１．] ４．B　[∵|PF２|＝|F２F１|,P点满足 c２ a２ －y ２ b２ ＝１,∴y＝ba c２－a２,∴２c＝ba c ２－a２,即２ac＝b２＝c２－a２, ∴e２－２e－１＝０,又e＞１,故e＝１＋ ２．] ５．C　[设所求双曲线方程为x ２ ９ － y２ １６＝k (k≠０),代入 (－３,２ ３)得k＝１４ ,c＝５２ ,∵双曲线x ２ ９－ y２ １６＝１ 的渐 近线为y＝±４３x , ∴所求双曲线的一个焦点 ５２ ,０æ è ç ö ø ÷ 到渐近线y＝±４３x 的距离d＝２．] ６．C　[设双曲线的标准方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０), 由 |PF１|􀅰|PF２|＝２, |PF１|２＋|PF２|２＝(２ ５)２,{ ⇒ (| PF１ | － |PF２|)２＝１６,即２a＝４,解得a＝２,又c＝ ５,所以b＝ １．双曲线的方程为x ２ ４－y ２＝１．] ７．x ２ ２－y ２＝１　[∵以F１(－ ３,０),F２(３,０)为焦点的 双曲线过点(２,１),∴设双曲线方程为x ２ a２ － y ２ ３－a２ ＝１, a＞０,把(２,１)代入方程,得:４ a２ － １ ３－a２ ＝１,a＞０,解 得a２＝２,或a２＝６(舍),∴该双曲线的标准方程为 x２ ２－y ２＝１．] ８．８３ ２　 [由 x２－y ２ ４＝１ y＝x＋１ { ,得４x２－(x＋１)２－４＝０,即 ３x２－２x－５＝０．　　　(∗) 设方程(∗)的解为x１,x２, 则有x１＋x２＝ ２ ３ ,x１x２＝－ ５ ３ , 故d＝ ２|x１－x２|＝ ２ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ ２× ４９＋ ２０ ３＝ ８ ３ ２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１６— 　高二暑假􀅰数学 ９．解　(１)由题意知双曲线的焦点在y轴上,且c＝１３, 因为c a ＝ １３ ５ ,所以a＝５,b２＝c２－a２＝１４４． 故所求双曲线的标准方程为y ２ ２５－ x２ １４４＝１． (２