假期作业(八) 抛物线-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

　高二暑假􀅰数学 ９．解　(１)由题意知双曲线的焦点在y轴上,且c＝１３, 因为c a ＝ １３ ５ ,所以a＝５,b２＝c２－a２＝１４４． 故所求双曲线的标准方程为y ２ ２５－ x２ １４４＝１． (２)法一:因为双曲线的渐近线方程为y＝±１２x , 若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为 x２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),则ba ＝ １ ２　　　　① 因为点A(２,－３)在双曲线上, 所以４ a２ －９ b２ ＝１　② 联立①②,无解． 若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为 y２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),则ab ＝ １ ２．　　③ ∵A(２,－３)在双曲线上,∴９ a２ －４ b２ ＝１．　　④ 由③④联立,解得a２＝８,b２＝３２． ∴所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． 法二:由双曲线的渐近线方程为y＝±１２x , 可设双曲线方程为x ２ ４－y ２＝λ(λ≠０), ∵A(２,－３)在双曲线上, ∴４４－ (－３)２＝λ,即λ＝－８． ∴所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． １０．解　(１)由双曲线的方程得a＝ ３,b＝ ６, ∴c＝ a２＋b２＝３,F１(－３,０),F２(３,０)． 直线AB的方程为y＝ ３３ (x－３)． 设A(x１,y１),B(x２,y２),由 y＝ ３３ (x－３) x２ ３－ y２ ６＝１ ì î í ï ï ï ï 消去y得 ５x２＋６x－２７＝０． ∴x１＋x２＝－ ６ ５ ,x１x２＝－ ２７ ５． ∴|AB|＝ １＋ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ [ ][(x１＋x２)２－４x１x２]＝ ４ ３ － ６ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ －４ －２７５ æ è ç ö ø ÷[ ] ＝１６５ ３． (２)直线AB的方程变形为 ３x－３y－３ ３＝０． ∴原点O到直线AB 的距离为 d＝ |－３ ３| (３)２＋(－３)２ ＝３２． ∴SΔAOB＝ １ ２|AB|d＝ １ ２× １６ ５ ３× ３ ２＝ １２ ５ ３． 假期作业(八) 知识梳理 １．相等　焦点　准线 ２．F p２ ,０æ è ç ö ø ÷　y＝－p２　 向左 习题精练 １．D　[y２＝２px(p＞０)的焦点为 p２ ,０æ è ç ö ø ÷,而椭圆的右焦 点为(２,０),由p２＝２ 得p＝４．] ２．C　[抛物线的准线方程为x＝－２,则焦点为F(２,０)． 从而kAF ＝ ０－３ ２－(－２)＝－ ３ ４． 即 直 线 AF 的 斜 率 为 －３４． ] ３．B　[设A(x１,y１),B(x２,y２)．由题意知AB 的方程为 y＝－２(x－１),即y＝－２x＋２． 由 y２＝８x, y＝－２x＋２,{ 得x ２－４x＋１＝０, ∴x１＋x２＝４,x１x２＝１． ∴|AB|＝ (１＋k２)[(x１＋x２)２－４x１x２] ＝ (１＋４)(１６－４)＝ ５×１２＝２ １５．] ４．B　[设 M(x,y),则根据题意及抛物线的定义可得:x ＝１５ (x＋４),解得x＝１,代入抛物线方程得:y＝±４, 又点 M 在第四象限,所以y＝－４,故 M(１,－４)．] ５．C　[设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|＝ xA＋ p ２＝１２ ,即１２＝９＋p２ ,解得p＝６．] ６．D　[设|FB|＝a,A(x１,y１),B(x２,y２),则S△AOB ＝ １ ２× １ ２p×|y２－y１| ,根据抛物线的定义可知|y２－y１| ＝ |AB|２－(|AF|－|BF|)２＝２ ２a．依题意|AB|＝ ３|FB|＝３ ２２ S ,则３a＝３ ２２ × １ ２× １ ２p×２ ２a , ∴p＝２．] ７．６　[因为抛物线x２＝２py的准线y＝－p２ 和双曲线 x２ ３－ y２ ３＝１ 相交交点横坐标为x＝± ３＋p ２ ４ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —２６— 假期作业　 所以 由 等 边 三 角 形 得 ２ ３＋p ２ ４ × ３ ２ ＝p ,解 得 p ＝６．] ８．４　[抛物线标准方程为x２＝－４y,其焦点坐标为(０, －１),准线方程为y＝１,则|MF|的长度等于点 M 到 准线y＝１的距离,从而点 M 到两定点F,E 的距离之 和的最小值为点E(１,－３)到直线