假期作业(十一) 等比数列-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

假期作业　 ∴ １x２０１５ ＝２０１５＋５３ ＝ ２０２０ ３ , ∴x２０１５＝ ３ ２０２０． 假期作业(十一) 知识梳理 １．(１)２　同一常数　公比　 an＋１ an ＝q　 (２)G　G２＝ab ２．(１)a１qn－１　(２) a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q (q≠１) ３．(１)qn－m　(２)apal　a２k 习题精练 １．A　[设等比数列{an}的公比为q,由条件知,a２(q４－ １)＝４０①且a２(q２＋１)＝１０②,①÷②得q２－１＝４, ∴q＝ ５,把q＝ ５代 入 ② 得a２＝ ５ ３ ,∴a１＝ a２ q ＝ ５ ３× ５ ＝ ５３． ] ２．A　[法一:由a３a１１＝１６,即a１􀅰２２􀅰a１􀅰２１０＝１６,且 a１＞０,得a１＝ １ ２４ ．所以a５＝a１􀅰２４＝ １ ２４ ×２４＝１． 法二:由等比数列的性质,知a２７＝a３a１１＝１６． 又数列{an}的各项都是正数,所以a７＝４． 又a７＝a５×q２,则a５＝ ４ ４＝１． ] ３．C　[在等比数列{an}中,S２、S４－S２、S６－S４ 也成等 比数列,故(S４－S２)２＝S２(S６－S４),则(１５－３)２＝ ３(S６－１５),解得S６＝６３．] ４．C　[设等比数列{an}的公比为q,由题意得４a２＝４a１ ＋a３, ∴４a１q＝４a１＋a１q２, ∴q＝２,∴S４＝ １×(１－２４) １－２ ＝１５． ] ５．C　[∵a３＝１,a６＝ １ ８ ,∴q＝１２ ,∴a１＝４, ∴a１a２＝８, ∵ anan＋１ an－１an ＝q２＝１４ , ∴数列{anan＋１}是以８为首项, １ ４ 为公比的等比数列． ∴a１a２＋a２a３＋􀆺＋anan＋１＝ ３２ ３ (１－４－n)．] ６．C　[设数列{an}的公比为q,显然q≠１,由已知得 ９(１－q３) １－q ＝ １－q６ １－q ,解 得q＝２(q＝１ 舍 去),∴ 数 列 １ an{ }是以１为首项, １ ２ 为公比的等比数列,前５项和 为 １× １－ １２ æ è ç ö ø ÷ ５ [ ] １－１２ ＝３１１６． ] ７．６　[∵a１＝２,an＋１＝２an, ∴数列{an}是首项为２,公比为２的等比数列, 又∵Sn＝１２６,∴ ２(１－２n) １－２ ＝１２６ ,∴n＝６．] ８．２２１７　２ n－ １２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ＋１　[由题意先估计:两天不够, 三天又多,设需要x天,则可得１＋２＋４(x－２)＋１＋ １ ２＋ １ ４ (x－２)＝５．解得x＝２２１７ ,即２２１７ 天两只老鼠 相遇．由题意可知,大老鼠前n天打洞长度为１－２ n １－２＝ ２n－１,小 老 鼠 前n 天 打 洞 长 度 为 １－ １２ æ è ç ö ø ÷ n １－１２ ＝２－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ,所 以 Sn ＝２n －１＋２－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ＝２n － １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ＋１．] ９．解　(１)设正项等差数列{an}的公差为d,则d＞０． ∵S３＝１２,即a１＋a２＋a３＝１２,∴３a２＝１２,∴a２＝４． 又２a１,a２,a３＋１成等比数列,∴a２２＝２a１(a３＋１),即 ４２＝２(４－d)􀅰(４＋d＋１),解得d＝３或d＝－４(舍 去), ∴a１＝a２－d＝１,故数列{an}的通项公式为an＝３n －２． (２)bn＝ an ３n ＝３n－２ ３n ＝(３n－２)×１ ３n , ∴Tn＝１× １ ３＋４× １ ３２ ＋７×１ ３３ ＋􀆺＋(３n－２)×１ ３n ．① ①×１３ 得１ ３Tn＝１× １ ３２ ＋４×１ ３３ ＋７×１ ３４ ＋􀆺＋(３n－ ５)×１ ３n ＋(３n－２)× １ ３n＋１ ．② ①－②得,２３Tn＝ １ ３＋３× １ ３２ ＋３×１ ３３ ＋３×１ ３４ ＋􀆺＋３ ×１ ３n －(３n－２)× １ ３n＋１ ＝１３＋３× １ ３２ １－ １ ３n－１ æ è ç ö ø ÷ １－１３ －(３n －２)× １ ３n＋１ ＝５６－ １ ２× １ ３n－１ －(３n－２)× １ ３n－１ , ∴Tn＝ ５ ４－ １ ４× １ ３n－２ －３n－２２ × １ ３n ＝５４－ ６n＋５ ４ × １ ３n ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋