假期作业(十四) 导数与函数的极值和最值-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

　高二暑假􀅰数学 １０．解　(１)当a＝１时,f(x)＝x２＋x－lnx, 所以f′(x)＝２x＋１－１x ,f′(１)＝２,又f(１)＝２, 所以曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的切线方程为２x －y＝０． (２)方法一:因为函数f(x)在[１,３]上是减函数, 所以f′(x)＝２x＋a－１x＝ ２x２＋ax－１ x ≤０ 在[１,３] 上恒成立． 令h(x)＝２x２＋ax－１,有 h(１)≤０, h(３)≤０,{ 得 a≤－１, a≤－１７３ { ,故 a≤－１７３． 所以实数a的取值范围为 －∞,－１７３ æ è ç ]． 方法二:因为函数f(x)在[１,３]上是减函数, 所以f′(x)＝２x＋a－１x＝ ２x２＋ax－１ x ≤０ 在[１,３] 上恒成立, 即２x２＋ax－１≤０在[１,３]上恒成立,则a≤１x－２x 在[１,３]上恒成立, 令φ(x)＝ １ x－２x ,显然φ(x)在[１,３]上单调递减, 则a≤φ(x)min＝φ(３),得a≤－ １７ ３ , 所以实数a的取值范围为 －∞,－１７３ æ è ç ]． 假期作业(十四) 知识梳理 １．(１)f′(x)＜０　f′(x)＞０　(２)f′(x)＞０　f′(x)＜０ ２．(２)f(a)　f(b)　f(a)　f(b) 习题精练 １．C　[y′＝４x－１x (x＞０),令y′＝４x－１x＝０ ,可得x＝ １ ２ x＝－ １ ２ 舍去æ è ç ö ø ÷,所以极值点为１ ２． ] ２．C　[∵f′(x)＝３x２－１２＝３(x＋２)(x－２),由f(－３)＝ １７,f(３)＝－１,f(－２)＝２４,f(２)＝－８,可知 M－m ＝２４－(－８)＝３２．] ３．C　[对 A,由导函数y＝f′(x)的图象可知,在区间 (－３,１)内函数先减后增,∴在(－３,１)内不单调,故 A 错误;对B,当x＝１时,f′(１)≠０,此时f(１)不是极大 值,故B错误;对C,在(４,５)内,f′(x)＞０,此时函数单 调递增,故C正确．对 D,当x＝２时,f′(２)＝０,但此时 f(２)不是极小值,而是极大值,故 D错误．] ４．B　[∵f(x)＝x３＋ax２＋bx,∴f′(x)＝３x２＋２ax＋b, ∵函数f(x)＝x３＋ax２＋bx在x＝１处有极值为１０, ∴ ３＋２a＋b＝０ １＋a＋b＝１０{ ,解得 a＝－１２ b＝２１{ ．经检验知,a＝－１２, b＝２１符合题意．∴f(x)＝x３－１２x２＋２１x, ∴f(２)＝２３－１２×２２＋２１×２＝２．] ５．C　[由题意得,y′＝－x２＋８１,令y′＝０,解得x＝９或 x＝－９(舍去)． 当０＜x＜９时,y′＞０;当x＞９时,y′＜０． 故当x＝９时,y取得极大值,也是最大值．] ６．C　[f(x)＝２x３－６x２＋３－a,f′(x)＝６x２－１２x＝６x (x－２),令f′(x)＝０,得x＝０,或x＝２．在(－２,０)上 f′(x)＞０,f(x)单调递增;在(０,２)上f′(x)＜０,f(x) 单调递减,所以f(x)max＝f(０)＝３－a．因为对任意的 x∈(－２,２)都有f(x)≤０,所以f(x)max＝３－a≤０,得 a≥３．故a的取值范围为[３,＋∞)．] ７．２　[f′(x)＝３x２－１２＝３(x－２)(x＋２),令f′(x)＝０, 得x＝－２或x＝２,易知f(x)在(－２,２)上单调递减, 在(２,＋∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(２),所 以a＝２．] ８．３　２７π　[设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r (r＞０),则水桶的高为２７ r２ ,所以S＝πr２＋２πr×２７ r２ ＝ πr２＋５４πr (r＞０),S′＝２πr－５４π r２ ,令S′＝０,解得r＝３． 当０＜r＜３时,S′＜０;当r＞３时,S′＞０,所以当r＝３ 时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省． ∴Smin＝π×３２＋ ５４π ３ ＝９π＋１８π＝２７π． ] ９．解　(１)f(x)＝xex,则f(１)＝e,切点坐标为(１,e)． 由题意知,f′(x)＝xex＋ex＝(x＋１)ex, k＝f′(１)＝２e,由直线的点斜式方程有: y－e＝２e(x－１),即２ex－y－e＝０． (２)由(１)知,f′(x)＝(x＋１)ex, 令f′(x)＞０,得x＞－１;令f′(x)＜０,得x＜－１． 则f(x)在(－∞,－１)上单调递减,在(－１,＋∞)上单 调递增,当x＝－１时,函数f(x)取得极小值, 所以f(x)的极小值为f(－１)＝－１e ,无极大值． １０．(１)解　f′(x)＝ax ＋x (x＞０), 若a≥０,则f′(x)＞０,f (x)在 (０,＋∞)上 单 调 递增; 若a＜０,令f′(x)＝０,解得x＝± －a,