假期作业(十三) 导数与函数的单调性-【百汇大课堂·暑假作业】2022年高二数学（新教材）

假期作业　 (４)因为y＝x２cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷, 所以y′＝２xcos２x－π３ æ è ç ö ø ÷＋x２ cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷[ ]′ ＝２xcos２x－π３ æ è ç ö ø ÷－x２sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷ ２x－π３ æ è ç ö ø ÷′ ＝２xcos２x－π３ æ è ç ö ø ÷－２x２sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷． １０．解　(１)因为y′＝２x． P(－１,１),Q(２,４)都是曲线y＝x２ 上的点． 过P 点的切线的斜率k１＝y′|x＝－１＝－２, 过Q点的切线的斜率k２＝y′|x＝２＝４, 过P 点的切线方程为y－１＝－２(x＋１),即２x＋y＋ １＝０． 过Q点的切线方程为y－４＝４(x－２),即４x－y－４ ＝０． (２)因为y′＝２x,直线PQ 的斜率k＝４－１２＋１＝１ ,设切 点为 M(x０,y０)． 切线的斜率k＝y′|x＝x０ ＝２x０＝１, 所以x０＝ １ ２ ,所以切点 M １２ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷, 与PQ平行的切线方程为y－１４＝x－ １ ２ , 即４x－４y－１＝０． 假期作业(十三) 知识梳理 递增　递减　f′(x)≥０　f′(x)≤０ 习题精练 １．D　[函数f(x)＝x２－５x＋２lnx,其定义域为{x|x＞ ０},则f′(x)＝２x－５＋２×１x＝ ２x２－５x＋２ x ． 令f′(x) ＝０,可得x１＝ １ ２ ,x２＝２．当x∈ １ ２ ,２æ è ç ö ø ÷ 时,f′(x)＜０, 故函数f(x)的单调递减区间为 １２ ,２æ è ç ö ø ÷．] ２．D　[函数的定义域为(０,＋∞),求导函数,可得f′(x) ＝１＋lnx,令f′(x)＝１＋lnx＝０,可得x＝１e , ∴当０＜x＜１e 时,f′(x)＜０;当x＞１e 时,f′(x)＞０． ∴函数f(x)在 ０,１e æ è ç ö ø ÷上递减,在 １ e ,＋∞æ è ç ö ø ÷上递增．] ３．B　[当x＞０时,x􀅰f′(x)＞０⇒f′(x)＞０⇒函数单调 递增,根据图形知,x＞１;当x＝０时,不成立;当x＜０ 时,x􀅰f′(x)＞０⇒f′(x)＜０⇒函数单调递减,根据图 形知,－１＜x＜１．综 上 所 述:x∈ (－１,０)∪ (１, ＋∞)．] ４．B　[∵f(x)＝x３＋kx２－７x,∴f′(x)＝３x２＋２kx－７, 由题意可知,不等式f′(x)≤０对于任意的x∈[－１, １]恒成立,所以 f′(－１)＝－２k－４≤０, f′(１)＝２k－４≤０,{ 解得－２≤k≤ ２．因此,实数k的取值范围是[－２,２]．] ５．A　[考查函数f(x)＝ xlnx ,则f′(x)＝lnx－１(lnx)２ ,f(x) 在(e,＋∞)上单调递增,∵e＜３＜π,∴f(e)＜f(３)＜ f(π),即 elne＜ ３ ln３＜ π lnπ ,∴a＜c＜b．] ６．A　[原不等式化为f(x)－x２－２０１８＜０,令g(x)＝ f(x)－x２－２０１８,则g′(x)＝f′(x)－２x．已知对任意 的x∈R,都有f′(x)＜２x成立,∴g′(x)＜０恒成立, ∴g(x)在R上递减．∵g(－２)＝f(－２)－(－２)２－２ ０１８＝２０２２－４－２０１８＝０,∴g(x)＜０的解集为(－２, ＋∞),故选 A．] ７．(－∞,０)和(０,１)　[函数的定义域为(－∞,０)∪(０, ＋∞),y′＝xe x－ex x２ ＝e x(x－１) x２ ,令y′＜０得x＜１,且 x≠０,故函数的单调递减区间是(－∞,０)和(０,１)．] ８．－１　(２,＋∞)　[∵f(x)＝２x＋alnx＋x ,定义域为 (０,＋∞), f′(x)＝－２x２ ＋ax ＋１＝ x２＋ax－２ x２ , 由题知f′(１)＝a－１＝－２,解得a＝－１, 这时f′(x)＝x ２－x－２ x２ ,则f′(x)＝０,得x１＝２或x２ ＝－１(舍), 令f′(x)＞０,即x２－x－２＞０且x＞０,得x＞２, 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(２,＋∞)．] ９．解　(１)函数f(x)的定义域为(０,＋∞)．f′(x)＝ax － ２bx,由题意 f′(１)＝a－２b＝０ f(１)＝－b＝－１２ { , 解得 a＝１, b＝１２． { (２)由(１)知f(x)＝lnx－ １２x ２,f′(x)＝ １x －x＝ － (x－１)(x＋１) x , ∴当x∈ １e ,１[ ] 时,f′(x)≥０,f(x)单调递增,当x∈ [１,e]时,f′(x)≤０,f(x)单调递减, ∴函数f(x)在 １e ,１[ ] 上单调递增,在[１,e]上单调 递减． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋