2.2 基本不等式 -【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

基本不等式 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解 情况1 一正： 求函数的最值. 【误解】，故最小值是. 【误解分析】误解中套用基本不等式，，当忽略了的前提条件！ 【正解】 ， (当取到等号) ， 故函数的最大值为，没有最小值. 情况2 二定：定值 求函数的最值. 【误解】 【误解分析】套用基本不等式，满足均为正数，但是最后求不出最值，因为不是一定值. 【正解】.(当时取到等号) (通过凑项得到定值“”) 故函数的最小值为，没有最大值. 情况3 三等：取到等号 求函数的最值. 【误解】，即最小值为. 【误解分析】在误解中把，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若，则显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明，那它有最小值么？ 【正解】，令，则， 因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值. 故的最小值为，无最大值. 【题型二】基本不等式运用的常见方法 方法1 直接法 【典题1】设，则三个数、、 (　　) ．都大于4 至少有一个大于4 至少有一个不小于4 至少有一个不大于4 【解析】假设三个数且且， 相加得：， 由基本不等式得：；；；(直接使用基本不等式) 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于． 故选：． 【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立. 【典题2】设，下列不等式中等号能成立的有(　　) ① ； ② ； ③ ； ④ ； A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】，，，当时取到，所以①成立， ，当时取到，显然②成立， ，运用基本不等式不能取等号，此时，显然不成立， ，当时成立， 故正确的有三个，故选：． 【点拨】 ① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当. ② 连等问题 本题中④ ，当时成立， 这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， 是当时取到等号，是当时取到等号， 即要同时满足方程组才行，而方程组有解， 即是成立的，当取到等号. 再看一例子：设，求的最小值. 误解1：，. 误解2：. 以上两种解法问题在哪里呢？ 【典题3】已知实数，满足，则的最大值为 . 【解析】 (分子、分母均为二次项同除) ，当且仅当时取等号， ，故最大值为． 【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如与，，与之类的. 方法2 凑项法 【典题1】若，则函数的最小值为 . 【解析】，当且仅当时取等号． 函数的最小值为． 【点拨】把凑项成，目的是使得与的乘积为定值. 【典题2】若，则的最小值是　 　． 分析：三项都不能乘积为定值，而与乘积为定值的分别是与 ，而它们的和刚好是，故想到令，完成凑项. 【解析】 当且仅当，，即时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故的最小值是. 【典题3】设，则的最小值是　 　． 【解析】 ； (这里巧妙地完成凑项) ． 当且即当且，即时取等号， 的最小值为． 【点拨】凑项的目的是使得“为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到的分母之和，刚好是所求式子的第三项. 方法3 凑系数 【典题1】若，则的最大值是　 　． 【解析】，且， 则， 当且仅当即时等号成立，即的最大值为. 【点拨】基本不等式的变形，和定求积(若为定值，可求的最值). 本题中不是定值，故通过凑系数，使得为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”. 【典题2】已知为正数，，则的最大值为　 　． 【解析】因为， 则， (这里用到了不等式，遇到二次根式可利用平方去掉根号) 当且仅当时，取得最大值． 【点拨】