2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（知识点解读+五个题型分练+复习巩固练习）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三节 二次函数与一元二次方程、不等式 思维导图 知识点解读 知识点1:一元二次不等式的相关概念 （1）定义:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. （2）一般形式: ,,（其中,,,均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值,叫作这个一元二次不等式的解; 一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集; 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式,叫作不等式的同解变形. 知识点2:二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点. 知识点3:函数与方程、不等式的对应关系 判别式 二次函数 的图象 对应方程 的根 两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 不等式的解集 知识点4:一元二次不等式的解法 （1）判号:检查二次项的系数是否为正值,若是负值,则利用不等式的性质将二次项系数化为正值; （2）求根:计算判别式,求出相应方程的实数根; ①时,求出两根,且（注意灵活运用因式分解和配方法）; ②时,求根; ③时,方程无解 （3）标根:将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序,尤其是当实数根中含有字母时）,并画出开口向上的抛物线示意图; （4）写解集:根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义,写出解集. 口诀:大于零取（根）两边,小于零取（根）中间. 题型分练 题型一、解不含参的一元二次不等式 1.解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 2.求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 3.解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 4.解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5.解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) 题型二、解含参的一元二次不等式 1.解关于的不等式． 2.解关于的不等式：． 3.解关于的不等式. 4.解关于的不等式； 5.解关于的不等式：． 6.（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 题型三、由一元二次不等式的解求参数 1.不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 2.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4.若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 5.（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 6.若不等式的解集为，则的值是 . 7.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 题型四、不等式的恒成立与有解问题 1.当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2.已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 4.当时，有解，则实数的取值范围是 . 5.当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 6.若不等式有解，则实数的取值集合是 . 7.设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 题型五、一元二次不等式整数解问题 1.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2.在关于的不等式的解集中至多包含1个整数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 5.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是 . 6.若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 题型六、一元二次不等式的实际应用 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度 的取值范围是 .    3.2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 4.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 5.实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额） 巩固练习 1、 单选题 1.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.一元二次不等式的解集为，则必有（    ） A． B． C． D． 3.“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4.若不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 6.对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 7.已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 3、 填空题 8.若不等式的解集为，则 ． 9.设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 10.如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．设草坪的宽为米，若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 4、 解答题 11.解下列不等式（组）并写出解集． (1)； (2)． 12.解下列不等式. (1)； (2). 13.已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 14.某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 15.已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 16.若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 17.某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式 思维导图 知识点解读 知识点1:一元二次不等式的相关概念 （1）定义:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. （2）一般形式: ,,（其中,,,均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值,叫作这个一元二次不等式的解; 一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集; 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式,叫作不等式的同解变形. 知识点2:二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点. 知识点3:函数与方程、不等式的对应关系 判别式 二次函数 的图象 对应方程 的根 两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 不等式的解集 知识点4:一元二次不等式的解法 （1）判号:检查二次项的系数是否为正值,若是负值,则利用不等式的性质将二次项系数化为正值; （2）求根:计算判别式,求出相应方程的实数根; ①时,求出两根,且（注意灵活运用因式分解和配方法）; ②时,求根; ③时,方程无解 （3）标根:将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序,尤其是当实数根中含有字母时）,并画出开口向上的抛物线示意图; （4）写解集:根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义,写出解集. 口诀:大于零取（根）两边,小于零取（根）中间. 题型分练 题型一、解不含参的一元二次不等式 1.解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 2.求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1） 或. 所以所求不等式的解集为： （2） . 所以所求不等式的解集为： （3）由 . 所以所求不等式的解集为： （4）因为 . 由， 所以所求不等式的解集为： 3.解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 4.解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 5.解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 题型二、解含参的一元二次不等式 1.解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 2.解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为： . 当时， . 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时， . 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 3.解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 4.解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 5.解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 6.（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型三、由一元二次不等式的解求参数 1.不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集可得对应方程的根，利用根与系数的关系求解. 【详解】由已知可知方程的两根分别为，， 由韦达定理得：，， ，． 故选：A 2.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，解得，所以， 故选：B 3.若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 4.若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 5.（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以有，因此选项A不正确，选项B正确； ，因此选项C正确； ，选项D正确， 故选：BCD. 6.若不等式的解集为，则的值是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集，可得一元二次方程的根，利用韦达定理建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得方程的两个根分别为与，且， 则，解得，所以. 故答案为：. 7.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论，根据一元二次不等式与二次函数的关系即可通过判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集为，符合题意，     当，即时，由开口向上的二次函数可知不可能为空集，故不符合题意，舍去， 当，即时，此时，解得， 综上a的取值范围是：， 故答案为： 题型四、不等式的恒成立与有解问题 1.当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 2.已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 3.若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题变为恒成立，再利用基本不等式求解即可； 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 4.当时，有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是 故答案为： 5.当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立对二次项系数k的取值进行分类讨论，再由判别式可解得k的取值范围. 【详解】当时，不等式可化为，显然恒成立， 当时，若不等式对一切实数x都成立， 需满足，且，即； 综上可得，, 即k的取值范围是. 故答案为： 6.若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 7.设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 题型五、一元二次不等式整数解问题 1.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论、、求对应解集，根据解集中整数解个数确定a的范围即可. 【详解】由， 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 当时，无解，不合题意； 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 综上，或. 故选：C 2.在关于的不等式的解集中至多包含1个整数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将因式分解，对与的关系分类讨论，根据至多有个整数解列出满足的关于不等式，由此求解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，，此时无解，符合条件； 当时，此时解集为，所以； 当时，此时解集为，所以； 综上可知：； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在分类讨论的前提下，列出满足条件的关于的不等式，由此求解出参数范围. 3.（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合二次函数性质列不等式，解不等式组. 【详解】令，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合， 由函数的图象的对称轴为， 所以为使得不等式的解集中有且仅有个整数， 必须且只需使得，解得， 故选：AB. 4.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 5.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形分解因式，讨论二次项系数及两根的大小关系列不等式求解. 【详解】，即 当时，则不等式解集为，不符合题意； 当时，则不等式解集为，不符合题意； 当时， 若时，不等式解集为，不符合题意； 若时，不等式解集为，故只需满足，解得； 若时，不等式解集为，不合题意； 综上：. 故答案为： 6.若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得 ； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得 . 综上可得：实数的取值范围为：. 题型六、一元二次不等式的实际应用 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2.某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度 的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 3.2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 4.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 5.实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额） 【答案】(1)，5年； (2)年，最大值为万元. 【分析】（1）根据给定条件，求出与之间的函数关系式，再解不等式即可得解； （2）求出平均盈利额的表达式，再利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【详解】（1）依题意， 由，得，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. （2）由（1）平均盈利额为， 当且仅当即时取等号， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 巩固练习 1、 单选题 1.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 2.一元二次不等式的解集为，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立计算即可得出参数范围. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则必有开口向下，且与轴无交点即判别式小于0， 所以，且. 故选：B. 3.“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解. 【详解】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 4.若不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集可得、、间的关系，即可解出. 【详解】由不等式的解集为， 得，且，是的两个根， 则有，， 即，， 则不等式可转化为， 即，解得：， 则不等式的解集为． 故选：D. 5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为 ， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 2、 多选题 6.对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 7.已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AD 【分析】根据给定的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的二根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式为：，解得，B错误； 对于C，不等式为：，解得，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 3、 填空题 8.若不等式的解集为，则 ． 【答案】0 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集为，则是方程的两个实数根， 故，解得，故， 故答案为：0 9.设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 【答案】或 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，利用解一元二次不等式结合题意验证，即可求得答案. 【详解】若，则原不等式为，即，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故. 设，其图象为抛物线， 由题意可知此抛物线开口向下才能满足条件，故. 因为0为其中一个解，所以，即， 所以，又，故或. 若，则不等式为，解得， 因为为整数，所以，符合题意； 若，则不等式为，解得3， 因为为整数，所以，符合题意， 所以的取值是 或， 故答案为：或. 10.如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．设草坪的宽为米，若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是 故答案为： 4、 解答题 11.解下列不等式（组）并写出解集． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解； （2）先分别利用一元二次不等式的解法求解各不等式，再求两个不等式解集的交集即可得出该不等式组解集． 【详解】（1）由， 则， 解得， 所以不等式的解集是． （2）由，解得，即， 所以不等式组的解集是，． 12.解下列不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 13.已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 14.某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 【答案】 【分析】由题可得关于的不等式，解一元二次不等式即可得答案. 【详解】由题，商品的年销量为件，又每件售价80元， 则，即， 所以，所以，解得. 15.已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得 综上，可得． 16.若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理求a的值，进而解不等式； （2）由题意可得：一元二次不等式的解集为，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立运算求解. 【详解】（1）由题意可知：方程的两根为，且，即， 则，解得， 不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知，， 结合题意可得：一元二次不等式的解集为， 若，则不恒成立，不符合题意； 若，则，解得. 综上所述：的取值范围是. 17.某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)答案见解析 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （2）根据题意可知，当时，不等式有解，结合参变量分离法以及基本不等式可求得的取值范围，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元. （2）依题意，当时，有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$