2.2 第1课时 基本不等式的证明（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

2.2 第1课时 基本不等式的证明 基 础 练 巩固新知 夯实基础 1.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 2.已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. 3.设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝x(4－3x)，则M，N的大小关系为(　　) A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 4.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 5.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 6.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 7.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤1. 8.已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz. 能 力 练 综合应用 核心素养 9.若0<a<b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为(　　) A．a　　 B．2ab C. D．无法确定 10.（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 11.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 12.给出下列结论： ①若a>0，则a2＋1>a. ①若a>0，b>0，则≥4. ③若a>0，b>0，则(a＋b)≥4. ④若a∈R且a≠0，则＋a≥6. 其中恒成立的是________． 13.设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 14.设y＝x＋，求y的取值范围． 15.已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8. 16.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9. 【参考答案】 1.D 解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D. 2.C解析：解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A. 解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小． 3.A 解析：M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，N＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤×2＝4. ∴M＞N. 4.② 解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 5.③ 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 6.证明: 因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号． 7.∵≤，≤，≤， ∴＋＋≤＝1. 故原不等式成立． 8.证明: ∵x，y，z都是正数， ∴x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2， ∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz. 当且仅当x＝y＝z时，等号成立． 9. C 解析：选C.因为0<a<b，a＋b＝1，所以a<， 因为ab<＝，所以2ab<，则a，，2ab中最大的数为，故选C. 10. ACD 解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立． 因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立． 因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号， 所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号， 所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立． 因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B. 11.B 解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(