1.3 集合的基本运算-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

集合的基本运算 并集、交集、补集 并集 交集 补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号 图形 表示 结论 若，则； 若，则. 3 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【典题1】离散型集合运算 已知集合 则的元素个数为 . 【解析】 则 的元素个数为． 【典题2】连续型集合运算 已知全集集合则集合 . 【解析】 ． 【点拨】关于集合的运算，先看清楚集合的元素，把集合化简成最简单的形式，当涉及到不等式可以借助数轴. 【典题3】设，其中，如果，求实数的取值范围. 【解析】 ，，解得或． ． ，(利用图理解下这个结论) 可能为． 方程的． ①当，即时，此时，适合题意． ②当，即时，得，适合题意． ③当，即时，方程由两个不等根，若为， 则必须满足，解得．(韦达定理) 综上可知：实数的取值范围是． 【点拨】遇到子集的问题:，不要漏了的情况. 【典题4】已知且，求的取值范围. 【解析】 由题意 ， (此时画数轴分析下，会清晰很多 则易知是方程的根，且) 是方程的一个根，即并且另一个根在上， (此时还是试试画出满足条件的函数图象，体会下数形结合的威力 ) 设函数则其中 解得. 【点拨】在处理类似本题集合综合运算时，多结合图象进行思考. 巩固练习 1(★) 已知集合，，，则(　　) A． B．　　C． D． 【答案】 B 【解析】 选B.由，，， 得，，，，选B. 2(★) 已知集合且，则(　　) 【答案】 【解析】 ，， 或， 或， ①时，，，集合错误，不满足集合元素的互异性， ； ②时，，，满足，即成立； ③时，，，，不成立， 综上得，，． 故选：． 3(★★)设都是的子集，如果叫做集合的长度，则集合的长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】由，且，求出]， 由，且，求出， 分别把的两端值代入求出：， 或，， 所以，或． 所以或 综上所述，集合的长度的最小值是． 故选：． 4(★) 设集合则 . 【答案】 【解析】解不等式，得， 集合， 又集合， . (★★) 设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为：　 　． 【答案】 【解析】求解一元二次方程可得，，且， 当，或时，结合集合的互异性，可知中所有元素之和为， 否则，解得：， 综上可得，实数的取值范围是． 6(★)已知集合若，则 . 【答案】 【解析】，且， ， ， ． (★★) 设其中，如果，则实数的取值范围　 　． 【答案】 【解析】由中方程变形得：， 解得：或，即， 由，其中，且， 分两种情况考虑： 若时，，即，满足题意； 若时，，即， 此时把代入得：，即或(舍去)； 把代入得：或， 综上，的范围为． (★★) 已知集合则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】集合2或． ． 若，即时，满足条件． 若，即m≠0时，集合， 要使．则 解得或m． 故或或． 9(★★) 已知集合，集合． (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)，， ，， 或，即或， 时，，，不满足，舍去， ； (2)，， 解得， 的取值范围为． 10(★★★) 已知集合，或，是否存在实数， 使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】 或 【解析】若，分和讨论： (1)若，则，解得，此时． (2)若，要使，则应有 即，所以． 综上，当时，或； 当或时，． 11(★★★) 设集合 （1）若，求实数的值； （2）若，．求实数的取值范围． 【答案】 (1) 或 (2) 【解析】由得或，故集合． （1）　，代入中的方程，得， 或; 当时，满足条件； 当时，满足条件； 综上，的值为或． （2），， ①若，则适合； ②若，则时，，，不合题意； 当，此时需且 将代入的方程得； 将代入的