专题03 函数与导数-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

专题03 函数与导数 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 求得函数的导数，令，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得， 所以，则． 故选：B. 2．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】 对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 3．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】 因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可知，过点的切线与直线平行，由此可求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可 【详解】 令，则，即， 所以， 故选：D． 5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意当时恒成立，整理得，当时，在图像的下方，结合图像分析处理． 【详解】 根据题意得当时恒成立 则，即 ∴当时，在图像的下方 ，则，则 故选：B． 6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数，设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案. 【详解】 函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令 ，则， 即单调递增，故， 所以，则在时单调递增， 由于 因为， 而，， 即 ，则， 故选：B 7．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）设函数在R上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数，得到为奇函数，在上单调递减，分和两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数的取值范围. 【详解】 ∵，∴． 令，且， 则在上单调递减． 又∵， ∴， ∴为奇函数，在上单调递减． ∵， ∴． 当，即时，， 即 即，由于在上递减，则， 解得：， ∴． 当，即时，， 即． 由在上递减，则， 解得：，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】 构造函数，研究出构造的函数的奇偶性和单调性，进而解不等式，是经常考查的一类题目，结合题干信息，构造出函数是关键. 8．（2022·河南开封·模拟预测（理））若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围. 【详解】 由题设可得，令，则在上恒成立， 由，在上；在上； 所以在上递增；在上递减，且， 在上，上，而， 所以，只需在上恒成立，即恒成立， 令，则，即在上递增，故. 故a的取值范围为. 故选：B 【点睛】 关键点点睛：不等式化为，构造研究单调性，进一步将问题转化为研究在上恒成立. 二、填空题 9．（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】 由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】 解：， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，当时，， 若时，当时，，则此时，与前面矛盾， 故不符合题意， 若时，则方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， ∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数， 又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，