考点3-1 导数计算与求切线-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点01 导数计算与求切线 1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】 先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】 解：因为， 所以， 把代入， 得，解得：， 所以，所以. 故选：C. 2．（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】 即求曲线在(0,f(0))处的导数. 【详解】 ，. 故选：B. 3．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知在处的切线与直线l垂直，若直线l与x，y正半轴围成的三角形面积为2，则直线l的方程为（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用导数的几何意义求切线的斜率，从而知道直线l的斜率，再根据直线l与x，y正半轴围成的三角形面积，建立方程可求解. 【详解】 由，故，故直线l的斜率为， 令， 由题意知，解得，故. 故选:D． 4（2020·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________． 【答案】1 【分析】 由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值 【详解】 由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 5．（2022·全国·高三专题练习）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______. 【答案】 【分析】 求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】 函数定义域为，导函数为， 使得存在垂直于轴的切线，即有正解，可得有解， 因为，所以，当且仅当“，即”时等号成立， 所以实数的取值范围是 故答案为： 6.已知，为f（x）的导函数，则的图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出函数的导函数，令，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据的符号可排除C，即可得解. 【详解】 解：， 则， 令， ，所以函数为奇函数，故排除AD， 又，故排除C. 故选：B. 7．曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B. 8．（2020·全国·高三课时练习（理））若曲线与曲线在交点处有公切线，则 A． B．0 C．2 D．1 【答案】D 【详解】 分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解． 详解：由曲线，得，则， 由曲线，得，则， 因为曲线与曲线在交点出有公切线， 所以，解得， 又由，即交点为， 将代入曲线，得，所以，故选D． 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 9．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【分析】 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】 当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】 本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 10．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，，那么___________. 【答案】 【分析】 在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值. 【详解】 因为， 所以，， 即，所以，， 因为，则， 所以，，解得，所以，， 因此，. 故答案为：. 11.（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线