05 结构特征【2】-2023高考数学总复习系列课程数学攻略二——运算能力

高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 21 / 71 05 结构特征(2) 一、知识要点 1.结构的特征又多又杂,我们旨在通过案例的讲解引导同学们如何抓住代数结构的特征,并加以应用. 二、题组突破 8.设函数 1( ) lnxf x x ax    . (1)若函数 ( )f x 在 ),1[  上为增函数,求正实数 a的取值范围； (2)当 1a  时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有 1 1 1 1ln 2 3 4 n n      . 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 22 / 71 9.设函数 2( )f x kx , ( ) lng x x , (1)讨论关于 x的方程 ( ) ( )f x g x 在区间 1[ , ]e e 内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 4 4 4 4 4 ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 1 1 2 3 4 2 n n e       . 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 23 / 71 10.设函数 2( ) ln(1 )f x x x   , (1)证明:当 0x  时, ( ) 0f x  ； (2)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有 4 4 4 4 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 1 2 3 e n      . 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 24 / 71 11.设函数 ( ) 1xf x e ax   , (1)若 ( ) 0f x  对 x R 均成立,求正实数 a的取值集合； (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n n nn e n n n n e        . 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 25 / 71 12.设函数 ( ) ln( )f x x x a   的最小值为0 ,其中 >0a . (1)若对任意的 [0,+ )x  ,有 2( )f x kx 成立,求实数 k的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有 )12ln( 2 1 12 1 5 1 3 1    n n  . 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 26 / 71 三、对接强基 13.(1)设函数 rxrxxf r  1)( )0( x ,其中 10  r .求函数 )(xf 的最小值； (2)用(1)的结果证明命题:设 01 a , 02 a , 21,bb 为正实数,若 121  bb ,则 221121 21 babaaa bb  ； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. 高考复习 · 运算能力 题组归源 · 刻意练习 27 / 71 四、刻意练习 1.设函数 2( ) xf x ax b   ,其中 (1) 1f  , 1 2( ) 2 3 f  .在数列{ }nx 中, 1 1 2 x  ,且 1 ( )n nx f x  . (1)求数列{ }nx 的通项 nx . (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 1 2 3 1 2n x x x x e  .